高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q，AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）定理得证！特殊情况：当PB∥AQ时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，则PB∥AQ。
2.正弦定理在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=R（r为外接圆半径，R为直径）证明：现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。
我们考虑∠C及其对边AB。
设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。
∵（特殊角正弦函数值）∴若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC`交⊙O于C`，连接C'A，显然BC'= 2r=R。
若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，BC的对边为a，此时∠C'=∠A，亦可推出。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得。
在△ABC中，D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点，连结AD，则有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。
证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… (1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2) ×AC×AD×sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC) …………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD) ×(AB/AC)4.张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD。
那么sin∠BADAC +sin∠CADAB=sin∠BACAD。
证明：设∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)(1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，则G,I,H共线。
设S为圆内弦AB的中点，过S作弦CF和DE。
设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。
证明：过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。
（此线常称为西姆松线）。
证明：若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N 和P、M、C、L分别四点共圆，有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆。
若A、P、B、C四点共圆，则∠NBP= ∠MCP。
因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆，有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线。
西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明：PM⊥AC，PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆，因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称，所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子，有∠PCV=∠PBW另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，所以∠PCQ=∠PBQ两式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等，因此但是，，所以同理，于是根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上。
三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。
设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。
那么B, N, C这三点共线。
逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。
完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形的外接圆交于一点O，称为密克点。
四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。
那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。
证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N，对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。
该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理。
现在已知U是和的公共点。
连接UM和UN，∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形，∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA。
同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC。
∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形，而该圆必是，U必在上。
10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。
EF⊥BC，且M在EF上。
那么F是A D的中点。
证明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。
证明：∵MA⊥MD，F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME ∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。
又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。
①+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时，。
证明：过点C作CP∥DF交AB于P，则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。
证明：先假设E、F、D三点不共线，直线DE与AB交于P。
由梅涅劳斯定理的定理证明（如利用平行线分线段成比例的证明方法）得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∵ (AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。
∴ AP/PB=AF/FB ；∴ (AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合。
∴ D、E、F三点共线。
13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②②/①约分得：(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1相交弦定理：如图Ⅰ，AB、CD为圆O的两条任意弦。
相交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。
所以有：，即：。
割线定理：如图Ⅱ，连接AD、BC。
可知∠B=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，同上证得。
切割线定理：如图Ⅲ，连接AC、AD。
∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因为∠P为公共角，所以有，易证图Ⅳ，PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO为公共边，因此。
所以PA=PC，所以。
综上可知，是普遍成立的。
弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。