A．1.57 B．2.44 C．3.65 D．4.78 E．5.24 【答案】C 【解析】新设备的更换是一个更新过程，而到 t 时刻更换新设备所花费的费用 是一
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个更新回报过程。令长时间后每年的平均费用为 ，则
A． B．ຫໍສະໝຸດ C．D． E． 【答案】E 【解析】设
是顾客到达数的泊松过程，
，故
则
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【答案】C
【解析】
的含义是 t 时刻之前更新次数不少于 n，
的含义是第 n
次更新的发生时刻在 t 之前，两个是等价的。A 中第一次更新发生在 t 之前并不影响第二次
发生的时间。B 中当 t 时刻之前发生的次数为 1 时，若发生时刻为 s,且 s<t，那么在（s,t]
时间段内没有事件发生，同样满足。D 有定义可知。E 在 t 时间段内发生的次数大于 n，只
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第 11 章 几种常用的随机过程
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．设移民到某地定居的户数是一个泊松过程，平均每周有 2 户定居。设每户的人口数
是一个随机变量，一户有 4 人的概率是 1/6，有 3 人的概率是 1/3，有 2 人的概率是 1/3，
B．13/144
C．1/4
D．1/2
E．1
【答案】A
【解析】每月进入中国上空的流星个数是服从参数为
的泊松分布，那么
落入中国地面的陨石数的期望为
3．设某种设备的寿命是服从均匀分布 U（0,10）的随机变量，当设备损坏或用了 3 年 时，就以旧换新。假设一台新设备价格为 10 万元，用了 3 年的旧设备卖出的价格为 1 万元， 一台损坏的设备没有任何价值。若每当购置一台新设备时就说一个循环开始，则长时间后每 年的平均费用为（ ）万元。[2011 年真题]
的泊松过程
C． 是强度为 的泊松过程
D． 是强度为 的泊松过程
E． 是强度为
的泊松过程
【答案】E
【解析】因 和
都是泊松过程，所以
和
，从而得
。在 上任取点
，做 的增量
，由于
记成
。此处
，
有
，
。对于任意实数
即知
相互独立，从而
因此 是独立增量过程。又因为
和 是相互独立的，所以
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相互独立， 和
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【答案】C
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【解析】有限状态不可约马尔科夫链的所有状态都是常返态
9．设 和
是两个相互独立，分别具有强度为 和 的泊松过程，定义随
机过程
。下列关于随机过程 的说法正确的是（ ）。
A． 不是泊松过程
B． 是强度为
，其中
表示一次更新的平均报酬， 表示一次更新所需的平均时间。由题：当设备在 3 年内损
坏时，则在损坏时更换的设备没有任何价值，当设备在 3 年内没损坏时，则在第 3 年末更
换设备，此时设备能卖到 1 万元。由此：
，
，故
。
4．设 N（t）是一个更新过程，Tn 是第 n 次更新发生的时刻，则下面事件的等价关系 成立的是（ ）。[2011 年真题]

也是相互独立的。所以有
综上可得， 是强度为
的泊松过程。
10．设
是强度为 的泊松过程，定义随机过程
常数
。则关于随机过程 的说法正确的有（ ）。
A． 是强度为 的泊松过程
B． 不是平稳过程
C． 的均值是
D． 的协方差函数为
E．以上都正确
【答案】C
【解析】因 是强度为 的泊松过程，所以
，其中 ，从而
因
记
，由
于是上式右边等于
，
，故
，即知
关于 是对称的，故不妨假定 ，
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由 的对称性，即知
进而可知， 是平稳过程。
11．设顾客以 2 人/min 的速率到达，顾客到达数为泊松过程，则在 2min 内到达的顾 客不超过 3 人的概率为（ ）。
那么
2．设进入中国上空的流星的个数是一个泊松过程，平均每年为 10000 个，且每个流星 能以陨石落入地面的概率为 0.0001，则一个月内落于中国地面的陨石数的期望为（ ）。
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[2011 年真题]
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A．1/12
6．设齐次马尔可夫链的状态空间为
，其一步转移概率矩阵为
则此马尔可夫链的极限分布为（ ）。[2011 年真题]
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【答案】C
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【解析】假设
，由
验证只有 C 满足
7．设
是独立同分布随机变量序列，且
，
，则下列说法正确的是（ ）。[2011 年真题]
能说明第 n 次更新的发生时刻在 t 之前。
5．设齐次马尔可夫链的状态空间为
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，其一步转移概率矩阵为
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则下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．状态 1 是正常返状态 B．状态 2 与状态 3 不是互通的 C．状态 3 与状态 4 不是互通的 D．状态 4 是正常返状态 E．状态 2 的周期为 1 【答案】D 【解析】由转移矩阵知，没有任何一个状态到状态 4，因此 4 不是正常返的
【答案】B
【解析】若 是关于
的一个鞅，则满足
，
将各选项带入验证得 B 正确
8．设下列说法不正确的是（ ）。[2011 年真题] A．泊松过程中第一个事件发生的时刻服从指数分布 B．泊松过程是一种特殊的更新过程 C．不可约有限状态马尔科夫链可能存在非常返态 D．布朗运动的增量服从正态分布 E．布朗运动是平稳增量过程
有 1 人的概率是 1/6，则在五周内到该地定居的移民人数的方差为（ ）。[2011 年真题]
A．2.5
B．7.17
C．25
D．71.67
E．83.33
【答案】D
【解析】假设 X 为五周内到该地定居的移民人数；
表示移民到某地定居的户数，
其中
服从参数为 的泊松分布， =2； 表示每户的人口数，则
，由于