设
解：
1 ，求 f F ( s) s( s 1)

(t ) 的z变换。
上式两边求Laplace逆变换，得 再由例8-2和例8-4有
1 1 F (s) s s 1
f (t ) 1 et , (t 0)
z z z (1 eT ) F ( z) T z 1 z e ( z 1)( z eT )
k 0
(8-18)

24
e kTs e ( k 1)Ts Fh ( s) f (kT ) s k 0 1 eTs kTs f ( kT ) e s k 0

(8-19)
由上式可知零阶保持器的传递函数
1 e Gh ( s) s
k k 0
（8-32）
39
证明：
证明式（8-31）

Z [ f (t nT )] f (kT nT ) z
k 0
第八章
采样系统理论
1
主要内容
8-1 采样过程与采样定理 8-2 信号的恢复与零阶保持器 8-3 z变换与z逆变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的性能分析 8-6 采样系统的数字校正
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基本要求
1.
正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保 持器的作用, 了解采样系统与连续系统的区别与联 系。
27
T
0
0
s
(幅频特性
2s
3 s
0

0
s
(b) 相频特性
2s
3 s
图8-11 零阶保持器的频率特性曲线
28
8-3 z变换与z逆变换
一、z变换
连续信号 f (t ) 经采样后得到的脉冲序列为
f (t ) f (kT ) (t kT )
k 0

（8-25）
对上式进行Laplace变换，得
2.
z变换和z逆变换，熟练掌握几种典型信号的z变换和 通过部分分式分解进行逆变换, 了解用z变换法解差
分方程的主要步骤和方法。 正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样 系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算 方法, 掌握典型闭环采样系统输出的z变换表达式。
3
3.
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4.
5.
熟练掌握z域稳定性的判别方法。
Gh (j )
π
s
sin(π / s )
26
其中
0, sin( π / s ) π, 2ns (2n 1)s (2n 1)s 2( n 1)s (n 0,1,2, )

零阶保持器的频率特性曲线如图8-11所示，对比图8-6 可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通 滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许 部分高频分量通过。
F ( s) f (kT ) e
k 0
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kTs
（8-26）
29
引入一个新的复变量 z
F ( s)

e
Ts
将式上式代入式（8-26）可得 z变换的定义式如下
s (1 / T ) ln z
F ( z ) f (kT ) z k
k 0
（8-28）
称F ( z )为f (t ) 的z变换，记作 Z[ f (t )] F ( z)或 Z[ f (kT )] F ( z)
特性如图8-6所示，便可以将采样信号完 全恢复成原连续信号。由此可得如下著 名的香农（Shannon）采样定理。
图8-6
13
如果采样频率 s满足以下条件 式中 max 为连续信号频谱的上限 频率。 则经采样得到的脉冲序列可以 无失真地恢复为原连续信号。
14
s 2 max
（8-6）
（8-13）
21
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各阶导数的近似值
f (kT ) f (kT T ) （8-14） f (kT ) T f (kT ) 2 f (kT T ) f (kT 2T ) f (t ) t kT T2

由此类推，计算n阶导数的近似值需已知
n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13） 的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的 数学表达式。
F ( z) f (0) z 0 f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (kT ) z k
（8-29）
由此可看出F ( z )是关于复变量 z 1 的幂级数 。
30
例8-1 求单位脉冲信号的z变换。
解：
(t kT ) (t ) 设 f (t ) (t ) ，则 f (t ) f (t ) k 0 由于 f (t ) 在时刻 t 0 的脉冲强度为1， 其余时刻的脉冲强度均为零，所以有
信号的过程，能够实现这一过程的装置 称为保持器。
kT t (k 1)T
可将 f 时，
(t )展成如下泰勒级数
f (t ) f (kT ) f (t ) t kT (t kT )
1 (n) f (t ) (t kT ) n t kT n!
（8-30）
1 1
2 2
其中 a1 和
a2
为任意实数。
37
证明：
Z [a f (t ) a f (t )] [a1 f1 (kT ) a2 f 2 (kT )]z
a1 f1 (kT ) z
k 0
1 1
2 2

k
k 0
k
a2 f 2 (kT ) z
p(t )
n
Cne
j ns t
（8-2）
8
s 为采样频率，Fourier系数 Cn 其中， 由下式给出
1 T 1 sin(ns / 2) ns /2 -jnωs t Cn p(t )e dt e T 0 T ns / 2
则采样信号 f (t )可以表示为

幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。
6
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T

图8-3 信号的采样过程
7
f (t ) p(t ) f (t )

（8-1）
实现上述采样过程的装置称为采样开关 可用图8-3（d）所示的符号表示。
由于载波信号
p(t ) 是周期函数，

故可以展成如下Fourier级数
0
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t kT )
k 0
此时，采样过程如图8-7所示。
（8-8）
理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。
16
图8-7 理想采样开关的采样过程
17
同样， T (t ) 可以展成如下Fourier级数
T (t )
22
零阶保持器的数学表达式为 f (t ) f (kT )， kT t (k 1)T
（8-16）
图8-10 信号的采样与保持过程
23
理想采样开关的输出Laplace变换为
F ( s) f (kT ) e
* k 0

kTs
(8-17)
零阶保持器的输出为
f h (t ) f (kT )1(t kT ) 1(t kT T )
35
注意：
1 不能直接将 s ln z 代入 T
F (s)
来求 F ( z ) ，因为z变换是 针对采样信号 f (t ) 进行z变换。
36
二、z变换的基本定理
1．线性定理
f 若f (t ) 和 2 (t ) 的z变换为F1 ( z ) 和 F2 ( z) ，
1
则
Z[a f (t ) a f (t )] a1F1 ( z ) a2 F2 ( z )
19
注意：
上述香农采样定理要求满足以下 两个条件：
1. 2. 频谱的上限频率是有限的。 存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想 的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应 用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低
通滤波器。
20
8-2 信号的恢复与零阶保持器
信号的恢复是指将采样信号恢复为连续
其中 则有 和
n
C

n
e
j ns t
1 Cn T
1 f (t ) f (t ) e jnst T n

（8-10）
（8-11）
1 F ( j ) F (j j ns ) T n
（8-12）
18
图8-9 连续信号和采样信号的频谱


F ( z) 1 z 1
0
31
例8-2 求单位阶跃信号的z变换。
解： 设
f (t ) 1(t )，则
F ( z) 1 z 1 z 2 z k
该级数的收敛域为 z 1 ，在该收敛域内， 上式可以写成如下闭合形式
1 z F ( z) , 1 z 1 1 z ( z 1)
熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理 解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的 关系。 熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。
6. 7.
掌握最小拍采样系统的设计步骤。
4
图8-1 机载火力控制系统原理图
5
8-1 采样过程与采样定理
一、采样过程
——将连续信号转换成离散信号的过程
该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3 所示， 其中载波信号 p(t )是一个周期为T，宽度为 ( ( T ) ， 幅值为 1 的脉冲序列，如图8-3（b）所示。 调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为