2019-2020学年高三数学 数学归纳法复习学案
数学归纳法的原理：A 数学归纳法的简单应用：B
二、知识梳理
（一）数学归纳法
一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：
如果（1）当n 取第一个值0n （例如2,10=n 等）时结论正确；
（2）假设当)(0*n k N k k n ≥∈=且时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确． 那么，命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立．
（二）练一练
1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12
n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0 等于 ．
2．用数学归纳法证明：“1＋a ＋a 2＋…＋a
n ＋1＝1－a n ＋21－a (a ≠1，n ∈N *)”在验证n ＝1时，左端计算所得的项为 ．
3.用数学归纳法证明：n n +≤++++212
131211 （*N n ∈）的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了 ，共 项．
4.用数学归纳法证明n n 431314
141412⋅-=+++ 时，有同学给出这样的证明： 证：（1）1=n ，左边=
41，右边=4143131=⋅-，等式成立． （2）假设k n =时结论成立，即k k 431314
141412⋅-=+++ ， 那么1+=k n 时，1112431314
11])41(1[41414141+++⋅-=--=+++k k k ． 所以当1+=k n 时，命题也成立．
根据（1）（2），可知对任何*
∈N n 等式都成立． 请问，上述证明方法正确吗？请说明理由．
三、例题讲评
【例1】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式
2
12)1
211()511)(311(+>-+++n n 均成立．
练习1： 已知数列}{n a 满足*),(12
12121N n na a a n n n ∈+-=+且31=a ． 计算432a a a 、、的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明．
练习2：用数学归纳法证明不等式：
11211112>++++++n
n n n （*N n ∈且1>n ）．
【例2】是否存在正整数m 使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9对任意正整数n 都能被m 整除，若存在，求出最大的m 的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
【例3】已知数列}{n a 是等差数列，且321a a a 、、是),2(211N m m x m ∈≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+展开式的前三项的系数．当2≥n 时，试比较
2111121n n n n a a a a ++++++ 与31的大小．
四、课后提高
1．已知数列}{n a 满足21=a ，)2(121≥-
=-n a a n n ，求n a ．
2．已知1)(+=n n n f ，n n n g )1()(+=，*
N n ∈． (1)当4,3,2,1=n 时，比较)()(n g n f 与的大小关系；
(2)猜想)(n f 与)(n g 的大小关系，并给出证明．
3．（2010江苏高考）已知ABC ∆的三边都是有理数．
（1）求证：cosA 是有理数；
（2）求证：对任意正整数n ，nA cos 是有理数．
4．（2013江苏高考）设数列
{}n a ：1， - 2， - 2，3， 3， 3，- 4，- 4，- 4，- 4， …， -1-1(-1),, (-1),k k k k k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，即当
*-+<()22n N ≤∈（k 1）k k （k 1）k 时，-1=(-1)k n a k ．记*12=++().n n S a a a n N ⋅⋅⋅∈对于*l N ∈，定义集合{1|S a n n P n =是的整数倍，*n N ∈，且
1}n l ≤≤.
(1)求集合11P 中元素的个数;
(2)求集合2000P 中元素的个数.。