函数的连续性与函数的导数函数的连续性是函数的重要性质。

常量函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数以及由它们经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数都是连续函数。

连续函数具有下面两条重要性质：1．最值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，于是存在c ，d 属于[a ，b]，满足f(c)≤f(x)≤f(d)对于所有x∈[a，b]成立。

（也就是说f(d)是[a ，b]上的最大值，f(c)是[a ，b]上的最小值）。

2．介值定理 假设f(x)是[a ，b]上的连续函数，且f(a)<y<f(b)（或f(b)<y<f(a)），则在（a ，b ）中存在c ，满足f(c)=y 。

函数的导数也是函数的一种性质，它在求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性，凹凸性求曲线的切线等方面有着直接的应用，将导数内容与传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，给竞赛试题解法带来新的启示。

例1 在曲线y=，x ≥0上求一点P ，使该点处的切线与两坐标轴所围图形的面积为最小（其中a>0，b>0）。

解：设所求点P （x 0，y 0），在该点处切线斜率为02020|x x b x k y a y ='==-,则该点处的切线方程为：00221xx yy a b+=,图形面积为22002a b S x y =，x 0∈（0，a ）。

设A=x 0y 0，可得x 0为A 的极大点，即S 的极小点。

此时y 0。

故所求点为P 时，所围面积最小。

评注：题中所给曲线实际上是椭圆22221x y a b+=在第一象限的部分。

求圆锥曲线的切线的传统方法是利用切线与圆锥曲线只有一个交点的特点，借助于一元二次方程判别式为零来解决的。

这种方法计算量较大而且不能推广到其它曲线的切线的求法。

而利用导数求切线斜率是通法。

如果能掌握降函数求导方法将使计算变得更加简捷。

例2（Ⅰ）已知0<x<1，试求函数f(x)=(1+x 2)(2-x)的最小值； （Ⅱ）若a ，b ，c 为正数，满足a+b+c=1，求证：2221112710111a b c ++≤+++。

解：（Ⅰ）对函数f(x)=(1+x 2)(2-x)求导数，得2()2(2)1(1)(31)f x x x x x x '=---=--，由()0f x '=，得13x =. 当0<x<13时，()0f x '<，函数f(x)是递减函数；当13<x<1时，()0f x '>，函数f(x)是递增函数。

∴当x=13时，函数f(x)=(1+x 2)(2-x)取得最小值5027。

（Ⅱ）显然a ，b ，c ∈（0，1），由（Ⅰ）的结论，得(1+x 2)(2-x)5027≥， 2127(1)501x x ≤-+。

（*） 在（*）里，取x 为a ，b ，c ，得三个不等式，2127(2)501a a ≤-+，2127(2)501b b ≤-+，2127(2)501c c≤-+， 叠加，得2221112727[6()]5010111a b c a b c ++≤-++=+++。

例3 已知函数f(x)=ln(1+x)-x ，g(x)=xlnx 。

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （Ⅱ）设0<a<b ，证明0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。

解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为（-1，+∞）。

1()11f x x'=-+。

令()0f x '=，解得x=0。

当-1<x<0时，f '(x)>0，当x>0时，f '(x)<0，又f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值为0。

（Ⅱ）g(x)=xlnx ，g '(x)=lnx+1.设F(x)=g(a)+g(x)-2g ()2a x+, 则()()2[()]ln ln 22a x a xF x g x g x ++'''=-=-. 当0<x<a 时，F '(x)<0，因此F(x)在（0，a ）内为减函数。

当x>a 时，F '(x)>0，因此F(x)在（a ，+∞）上为增函数。

从而，当x=a 时，F(x)有极小值F(a)。

因为F(a)=0，b>a ，所以F(b)>0，即0<g(a)+g(b)-2g ()2a b+。

设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则()ln lnln 2ln ln()2a xG x x x a x +'=--=-+ 当x>0时，()0C x '<。

因此G(x)在（0，+∞）上为减函数。

因为G(a)=0，b>a ，所以G(b)<0，即g(a)+g(b)-2g ()2a b+<(b-a)ln2。

例4 （2006年土耳其国家队选拔考试）已知正数x 、y 、z 满足xy+yz+zx=1，证明：227()()()4x y y z z x +++≥≥证：设tanA=x ，tanB=y ，tanC=z ，其中，∠A、∠B、∠C∈(0,)2π，则tanA·tanB+tanB·tanC+tanC·tanA=1⇔1-tanA·tanB=tanC(tanA+tanB)⇔cotC=tan tan 1tan tan A BA B+-⋅=tan(A+B)。

∴∠A+∠B+∠C=2π。

故22()2x y z =+++=2tan 22(tan sec )A A A ++∑∑∑。

又因y=tanx 的二阶导数y ''=32sin 0cos xx>，y=secx 的二阶导数231sin 0cos x y x +''=>，所以，26(tan sec )33A B C A B C++++≥+=。

注意到227()()()4x y y z z x +++≥⇔27sec 2(tan sec )4A A A ≥+∑∑∏ ⇔278≥cos cos sin cos cos A B C A B ⋅⋅+⋅∑∑=1cos sin()cos cos 2A B C A B ⋅++⋅∑∑=21cos cos cos 2A A B +⋅∑∑=21(cos )2A ∑,又因y=cosx 在[0,]2π上为凸函数，所以，cosA+cosB+cosC 3cos3A B C ++≤=（cosA+cosB+cosC ）2274≤,因此，原不等式成立。

评注：此例证明用到函数的凸凹性。

例5 射线OA ，OB 构成的角的内部存在点P ，在OA 上寻找点X ，在OB 上寻找点Y ，使点P 在线段XY 上，并且|PX|·|PY|最小。

解：如图：以角γ为自变量,在ΔOXP 和ΔOPY 中使用正弦定理sin sin sin sin()PX OP PY OPαγβπαβγ---==和，于是 F （γ）=|PX|·|PY|=sin sin ()||()||sin sin()OP OP αβγπαβγ⋅⋅⋅--- =(csc )(csc()),0C γπαβγγπ---<<，其中C=sin αsin β|OP|2是常数。

函数F 在（0，π）连续可导，且当γ→0+，γ→π-时F （γ）→∞。

所以在（0，π）上的某点达到最小值，在该点()F γ'=0，即0=csc γcsc ()παβγ---[cot γ-cot ()παβγ---].因为在（0，π）上csc γ和csc ()παβγ---都不为0，所以当cot γ=cot ()παβγ---时达到最小值。

对于0<γ<π，0<παβγπ---<，仅当γπαβγ=---时上式成立。

于是ΔOXY 为等腰三角形；即OX=OY 。

评注：这是初等微积分的典型的最大—最小问题。

本问题并非提问是否达到最小而是提问在何处达到最小值。

技术上是应用前述的结果：如果最小值在开区间内达到，则在某一点导数为0。

于是我们必须将乘积|PX|·|PY|表示成某个单变量的函数，并求出导数为0的点。

对于每个正数x ，在OA 上存在唯一的点X ，满足x=|OX|。

而该点唯一地决定了OB 上的点Y ，使得X ，P 和Y 共线。

于是|PX|·|PY|是x 的函数。

但是找出其函数表达式很困难，因此寻求其他方法。

因此以γ为自变量构造函数。

例6 已知函数f(x)=lnx ，g(x)=12x 2+a （a 为常数），直线l 与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l 与函数f(x)图象的切点的横坐标为1。

（Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值；（Ⅱ）当k∈R 时，试讨论方程f(1+x 2)-g(x)=k 的解的个数。

解：（Ⅰ）1()|x f x ='故直线l 的斜率为1，切点为（1，f(1)），即（1，0），∴直线l 的方程为：y=x+1直线l 与y=g(x)图象相切，等价于方程组2112y x y x a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩只有一解，即方程21(1)02x x a -++=有两个相等实根。

∴Δ=1-4·12(1+a)=0，∴a=-12（Ⅱ）令y 1=f(1+x 2)-g(x)=ln(1+x 2)- 12x 2+12，y 2=k,由312222(1)(1)111x x x x x x y x x x x --+'=-==+++，令1y '=0，则x=0，-1，1。

当x 变化时，y '、y 1的变化如下表又因为y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12为偶函数。

据此可画出y 1=ln(1+x 2)-12x 2+12的示意图如右：当k∈（ln2，+∞）时，方程无解；当k=ln2或k∈（-∞，12）时，方程有两解；当k=12时，方程有三解；当k∈（12，ln2）时，方程有四解。

例7 给定平面上一个三角形，求证在任意方向上都存在一条直线，能将三角形分成面积相等的两份。

解：设已给三角形ABC 的面积为S ，存在矩形ODEF 包含三角形ABC ，且可使其一个边与给定方向e 平行，不妨设OD ∥e ，以OD 为y 轴，OF 为x 轴建立直角坐标系O-xy 。

如图所示，以S(x)表示过x 轴而平行于y 轴的直线截取三角形ABC 所得位于直线左边区域的面积（如所论区域为空集，就记S(x)=0）。

S(x)是连续的。

因为|S(x)-S(x ')≤|x-x '|，所以S(x)连续。