矩阵及其运算
1、特征值分解 由以前学过的知识，我们已经了解到在MATLAB是 应用函数eig来解决的。但是应用到特征值分解的部分， 需要在形式上作一定的变化，其使用的格式如下： [V,D]＝eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是以 矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵X 的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵，使得满足 关系式X*V=V*D。
矩阵及其运算
randn（M,N）：表示生成M×N阶随机矩阵，生成 的矩阵的元素值在服从正态分布N（0,1）。 例十五 随机矩阵的生成

矩阵及其运算
4 魔术矩阵的生成 魔术矩阵是一个经常遇到的矩阵，它是一个方阵，特 点是每一行、每一列以及每一主对角线元素之和都同。 在MATLAB中，用函数magic来生成。其格式如下： magic（N）：表示生成N×N阶的魔术矩阵，使矩 阵的每一行、每一列以及每一主对角线元素之和都同。 其中N>0,N=2除外。 例十五 魔术矩阵的生成。
矩阵及其运算
四 矩阵的分解运算 MATLAB的数学处理能力之所以强大，很大一部分 的原因就是它的矩阵函数功能的扩展。矩阵分解在数值 分析和科学研究中有着重要的地位。常用的分解方法有 以下几种：三角分解（lu）、正交分解（qr）、特征值 分解（eig）和奇异值分解（svd）。我们这里主要介绍特 征值分解。
矩阵及其运算
reshape（X,[M,N,p,…]）：该命令与上个 reshape（X,M,N,p,…）命令的效果一致。 例十一：

矩阵及其运算
2 矩阵的变向 矩阵的变向包括对矩阵进行旋转、上下翻转、左右翻 转以及对指定的维进行翻转。分别由函数rot90、 flipud、fliplr和flipdim来实现。具体用法如下： rot90（A）：命令返回矩阵A按逆时钟方向旋转90度 所得的矩阵。 rot90（A，K）：命令返回矩阵A按逆时针方向旋转 90×K度所得的矩阵。（K=±1, ±2,…）。 flipud（X）：命令将矩阵X上下翻转。
矩阵及其运算
上面的例子就是一个典型的稀疏矩阵。可见，无论对 存储空间还是对零元素进行代数运算所需的计算量都是 很大的浪费。对于这种情况，MATLAB提供了一个更为 高级的存储方式，即稀疏矩阵方法，这个矩阵中， MATLAB7.0将不会存储矩阵中的0元素而只对非零元素 进行操作。 1 稀疏矩阵的生成 在MATLAB中，生成稀疏矩阵用以下几个函数： speye、spones、spdiags、find、full、spalloc、 sprand和sprandn等，这里主要介绍几个常用的函数。
矩阵及其运算
三 矩阵的特征参数运算 一 矩阵的乘方运算和开方运算 在MATLAB7中，可以使用Ap来计算A的p次方，使用 函数sqrtm来对矩阵进行开方运算。如果有X*X=A,则有 sqrtm（A）=X。 例五 求矩阵的乘方和开方运算。
为逆运算。 二 矩阵的指数和对数运算 矩阵的指数运算用expm函数来实现；对数运算用 logm函数来实现。两者互为逆运算。 例六 矩阵的指数和对数运算
矩阵及其运算
2 矩阵之间的四则运算 (1)矩阵与矩阵的加法（减法） 矩阵与矩阵的加法（减法）即是指矩阵各元素之间的 加法（减法）运算。矩阵必须具有相同的阶数时才可以 进行加法（减法）运算。 例三如下：
矩阵及其运算
由上例可以看出，矩阵m3为3*3的，而m1为4*4 的。因而如果求m5＝m3＋m1，系统就会报错。 (2)矩阵与矩阵的乘法 在MATLAB7中，矩阵的乘法使用的是运算符“*”。 由 数学知识，我们知道们只有当第一个矩阵（左矩阵）的 列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵的 乘积才有意义。 例四 矩阵的乘法运算。
矩阵及其运算
A=diag（V），该命令的意义同A=diag（V，0）。即 表示V为主对角线。 例十四 对角矩阵的生成函数。

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3 随机矩阵的 生成 随机矩阵表示矩阵中的元素是随机数。在MATLAB 中，使用两个函数rand和randn函数来生成多种随机矩 阵。其使用格式如下： rand（N）：表示生成N×N阶的随机矩阵，生成矩 阵的元素值在区间（0.0 1.0）之间。 rand（M,N）：表示生成M×N阶随机矩阵，生成随 机矩阵的元素值在区间（0.0 1.0）之间。 randn（N）：表示生成N×N阶的随机矩阵，生成的 矩阵的元素值服从正态分布N（0,1）
矩阵及其运算
元素分布在以向量i的对应值和向量j的对应值为坐标的位 置上，其中，nzmax=length(s)。 S=sparse(i,j,s)：生成m×n的稀疏矩阵S，向量s的元 素分布在以向量i的对应值和向量j的对应值为坐标的位置 上，其中m=max(i)，n=max(j)。 S=sparse(m,n)：即是sparse([],[],[],m,n,0)的简化形 式。 见例题：
第二节
矩阵及其运算
矩阵及其运算
MATLAB语言是由早期专门用于矩阵运算的计算机 语言发展而来的，其名称就是“矩阵实验室”的缩写。 MATLAB语言最基本、最重要的功能就是进行实数矩阵 或是复数矩阵的运算，其所有的数值功能都以矩阵为基 本单元来实现。矩阵是MATLAB的重要组成部分，将对 矩阵及其运算进行详细介绍。
矩阵及其运算
矩阵及其运算
七 稀疏型矩阵 以上已经对MATLAB中的矩阵的用法做了一些基础 的介绍，当创建一个矩阵的时候系统会为矩阵中的每一 个元素分配内存。但是也存在如下的问题：例如函数 A=eye（10）创建的矩阵有100个元素，其主对角线上 的元素都为1，别的元素都为0。即10个元素是非零，其 他的90个元素是0。所以矩阵要求有100个单元，而只 有10个单元是非零的，这样的例子就是一个稀疏矩阵。
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eigs函数使用方法同eig函数相同，eigs函数使用的是迭 代法来求解矩阵的特征值和特征向量。 例九 求矩阵A和X的特征值和特征向量。

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六 矩阵的秩 矩阵可以经过初等行或列变换，将其转换为行阶梯行 矩阵，而行阶梯行矩阵所包含非零行的行数是一定的， 这个确定的非零行的行数就是矩阵的秩。在MATLAB 中，矩阵的秩可以通过函数rank来求得。 七 矩阵的迹 矩阵的迹是指矩阵主对角线上所有元素的和，也是矩 阵各特征值，矩阵的迹可以通过trace函数求得。
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由上例可以看出，矩阵A为4*4阶，矩阵D为3*3 阶，两者的阶数不符合乘法的要求，因此报错。 (3) 矩阵与矩阵的除法 在MATLAB7中，矩阵的除法有左除和右除两种，分 别以符号“\”和“/”表示。 但是从MATLAB6以来，矩 阵 的左除和右除的区别在逐渐减少。斜杆上面的数据除以 斜杆下面的数据。 三 矩阵的特征参数运算 关于矩阵的运算，主要包括：矩阵的特征值运算、行 列式运算、矩阵的范数运算和矩阵的条件运算等。
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三 矩阵的逆运算 矩阵求逆在矩阵运算中，是非常重要的运算。矩阵可 逆的充分必要条件就是矩阵的行列式不为零。在 MATLAB中，所有复杂的问题都化为一个函数inv。 例七 求矩阵A的逆。 四 矩阵的行列式运算 当矩阵的行和列相同时，可以进行矩阵的行列式操 作。MATLAB提供了函数det来求行列式的值。 例八 求矩阵A的及其其逆矩阵B的行列式的值。
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filplr(X)：该命令将矩阵X左右翻转。 filpdim（X,DIM）：还命令将矩阵X的第DIM维翻 转。 例十二

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六 特殊矩阵的生成 在介绍了矩阵的生成以后，在介绍一些特殊的矩阵的 生成。 1 零矩阵和全1矩阵的生成 零矩阵指的就是矩阵中的元素全部为零，在 MATLAB中，使用zeros函数来生成一个零矩阵。它的使 用格式如下： A=zeros（M,N）命令中，A为生成的零矩阵，M和 N分别为生成矩阵的行和列。 如果已经存在矩阵B，要生成与B维数相同的矩阵，
矩阵及其运算
可以使用命令：A=zeros（size（B））。 当要生成一个方阵时，也可以直接使用命令 A=zeros（N）,此时MATLAB只是生成一个N阶方阵。 而全1矩阵的生成与零矩阵的生成类似，只是使用函 数ones来实现。 例十三 零矩阵和全1矩阵的生成。
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2 对角矩阵的生成 对角矩阵指的是对角线上的元素为任意数值，而其他 元素为零的矩阵。在MATLAB中用函数diag来生成一个 对角矩阵。其格式为： A=diag（V,K），该命令表示V为某个向量，K为向 量V偏离主对角线的列数。K等于零时表示V为主对角 线，K为大于零的数时表示V在主对角线以上，K小于零 表示V在主对角线以下。
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speye函数 Speye(size(A))：生成和单位矩阵A维数相同的单位稀 疏矩阵。 speye(M,N)：生成单位稀疏矩阵，其中，其维数为 M和N中较小的那个数。 speye(M) ：生成M阶的单位稀疏矩阵。 见例子
1.
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sprand函数 该函数用于生成随机稀疏矩阵（其元素服从0-1分 布）。 R=sprand(S)：产生与稀疏矩阵S结构相同的稀疏 矩阵R，但是它的元素都是0到1上的随机数。 R=sprand(M,N,D)：产生一个M×N的随机稀疏矩 阵R，它的非零元素的个数近似为M×N×D，注意D的 值介于0和1之间。 见例子
矩阵及其运算
五 矩阵的特征值运算 在矩阵中，特征值占据着重要的角色，在MATLAB 中，可以利用eig、eigs两个函数来进行矩阵的特征值运 算，其使用的格式和注意事项如下： E=eig（X）命令生成由矩阵X 的特征值所组成的一 个列向量。其中X必须是方阵。 [V,D]=eig（X）命令生成两个矩阵V和D，其中V是 以矩阵X的特征向量作为列向量组成的矩阵，D是由矩阵 X的特征值作为主对角线元素构成的对角矩阵。
二 矩阵的基本数值运算 矩阵的基本运算通常包含有矩阵与常数的四则运算、 矩阵与矩阵之间的的四则运算以及矩阵的逆运算等。本 节将要对矩阵的这些运算作简要的介绍。 1 矩阵与常数的四则运算 矩阵与常数的四则运算即是指矩阵各元素与常数之间 的四则运算。在矩阵与常数进行除法运算时，常数只能 作为除数。例二如下：