第二讲矩阵运算§1基本矩阵运算元我们在第一讲章已说明过 MATLAB 的运算是以数组(array>及矩阵 (matrix> 方式在做运算，而这二者在MATLAB的基本运算性质不同，数组强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运算方式。
我们就来说明矩阵运算的特点。
以下将数组及矩阵的运算符号及其意义列出>> A=[2 5 1。
7 3 8。
4 5 21。
16 13 0]。
>> A' % A的转置矩阵A =2 7 4 165 3 5 131 8 21 0>> A=[4 -1 3]。
B=[-2 5 2]。
>> dot_prod = sum(A.*B> % 二个数组做内积dot_prod =-7>> c=dot(A,B> % 以dot函数也可做内积运算c =-7>> A=[4。
-1。
3]。
>> dot_prod = sum(A'.*B>。
% 如果A是行数组则先做转置，再做内积>> F=[2 5 -1]。
G=[0 1 -3]。
>> out_prod=F'*G。
% 二矩阵做外积>> A=[2,5,1。
0,3,-1]。
>> B=[1,0,2。
-1,4,-2。
5,2,1]。
>> C=A*B % 矩阵相乘，注意二个矩阵的大小须相容C =2 22 -5-8 10 -7>> A=[2 1。
4 3]。
>> A^2 % 矩阵次方ans =8 520 13下面我们演示一个具体的例子。
假设我们把本地区的天气分为3种状态：晴，阴，雨。
若今天天阴，则明天天晴的概率为1/2，阴的概率为1/4，下雨的概率为1/4。
如果今天天阴，或者今天下雨，则明天天气是其它情况的概率会是其它的值，将这些概率值列入下面的表中。
天气状态转移概率表2行第3列(最后一列>的值为1/2,，这给出了今天下雨明天转阴的概率。
将上表内的概率数据用矩阵A表示矩阵A中概率称为转移概率，矩阵A称为转移矩阵。
已知今天天气晴、阴、雨的概率，可以用转移矩阵A提供的数据来计算明天天气晴、阴、雨的概率。
记、、分别为今天天气是晴、阴、雨的概率，、、分别为明天天气是晴、阴、雨的概率，两个列向量分别称为今日概率向量和明日概率向量，则有矩阵计算式以当前状态预测未来状态的概率模型称为Markov链。
如果在清晨我们听到的天气预报为，今天阴或雨的概率都是1/2,那么，今日概率向量。
利用上式计算明日概率向量的Matlab操作是：A=[3/4 1/2 1/4。
1/8 1/4 1/2。
1/8 1/4 1/4]。
%输入矩阵AP=[0 1/2 1/2]'。
%输入向量PP1=(A*P>'P1 =3/8 3/8 1/4这里，P1就是按行向量的形式输出的结果。
明天天气为晴、阴的概率都是3/8,下雨的概率是1 /4。
明日的概率向量可以用前面的Markov链求出，那么两天的概率向量可用公式给出。
这里需要计算，我们再用Matlab完成矩阵乘积的计算。
A2=A^2A2 =21/32 9/16 1/23/16 1/4 9/325/32 3/16 7/32用键盘敲入A2 = A^2后再按下【Enter】键就得到了结果A2。
从本例可见，Matlab的操作并不复杂，它用于矩阵运算十分方便。
§2 线性方程组的求解因为矩阵的乘法运算一般不具有可交换性，所以AX与XA一般不相同，为求解X，Matla b提供了两种除法运算符：斜杠“\”和“/”分别表示左除和右除。
左除“\”：用X=A\B表示AX=B的解；右除“/”：用X=B/A表示XA=B的解。
例解线性方程组输入：A=[2 1 -5 1 。
1 -3 0 -6。
0 2 -1 2。
1 4 -7 6],b=[8 9 -5 0]A =2 1 -5 11 -3 0 -60 2 -1 21 4 -7 6b =8 9 -5 0方程组的解为X=(A\b'>'X =3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000§3多项式与矩阵多项式一、多项式行向量的创建方法在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。
例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116>> p=[1 -12 0 25 116]p =1 -12 0 25 116注意，必须包括具有零系数的项。
除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。
给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。
?>>r=roots(p>r =11.74732.7028-1.2251 + 1.4672i-1.2251 - 1.4672i因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。
给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。
在MATLAB中，命令poly执行这个任务。
>> pp=poly(r>pp =1.0e+002 *Columns 1 through 40.0100 -0.1200 0.0000 0.2500Column 51.1600 + 0.0000i>> pp=real(pp> %throw away spurious imaginary partpp =1.0000 -12.0000 0.0000 25.0000 116.0000因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，因为截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。
消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。
二、多项式乘法函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积>。
考虑两个多项式a(x>=x3＋2x2＋3x＋4和b(x>= x3＋4x2＋9x＋16的乘积：>>a=[1 2 3 4] 。
b=[1 4 9 16]。
>> c=conv(a , b>c =1 6 20 50 75 84 64结果是c(x>=x6＋6x5＋20x4＋50x3＋75x2＋84x＋64。
两个以上的多项式的乘法需要重复使用conv。
三、多项式加法对多项式加法，MATLAB不提供一个直接的函数。
如果两个多项式向量大小相同，标准的数组加法有效。
把多项式a(x>与上面给出的b(x>相加。
>>d=a+bd =2 6 12 20结果是d(x>= 2x3＋6x2＋12x＋20。
当两个多项式阶次不同，低阶的多项式必须用首零填补，使其与高阶多项式有同样的阶次。
考虑上面多项式c和d相加：>>e=c+[0 0 0 d]e =1 6 20 52 81 96 84结果是e(x>= x6＋6x5＋20x4＋52x3＋81x2＋96x＋84。
要求首零而不是尾零，是因为相关的系数象x幂次一样，必须整齐。
如果需要，可用一个文件编辑器创建一个函数M文件来执行一般的多项式加法。
：function p=mmpadd(a,b>% MMPADD Polynomial addition.% MMPADD(A,B> adds the polynomial A and B% Copyright (c> 1996 by Prentice Hall,Inc.if nargin<2error(' Not enough input arguments '>enda=a(:>.' 。
% make sure inputs are polynomial row vectorsb=b(:>.' 。
na=length(a> 。
% find lengths of a and bnb=length(b> 。
p=[zeros(1,nb-na> a]+[zeros(1,na-nb> b] 。
% add zeros as necessary现在，为了阐述mmpadd的使用，再考虑前一页的例子。
>> f=mmpadd(c,d>f =1 6 20 52 81 96 84它与上面的e相同。
当然，mmpadd也用于减法。
>>g=mmpadd(c , -d>g =1 6 20 48 69 72 44结果是g(x>= x6＋6x5＋20x4＋48x3＋69x2＋72x＋44。
四、多项式除法在一些特殊情况，一个多项式需要除以另一个多项式。
在MATLAB中，这由函数deconv 完成。
用上面的多项式b和c>> [q , r]=deconv(c , b>q =1 2 3 4r =0 0 0 0 0 0 0这个结果是b被c除，给出商多项式q和余数r，在现在情况下r是零，因为b和q的乘积恰好是c。
五、多项式导数因为一个多项式的导数表示简单，MATLAB为多项式求导提供了函数polyder。
>> gg =1 6 20 48 69 72 44>> h=polyder(g>h =6 30 80 144 138 72六、多项式估值根据多项式系数的行向量，可对多项式进行加，减，乘，除和求导，也应该能对它们进行估值。
在MATLAB中，这由函数polyval来完成。
>> x=linspace(-1, 3> 。
% choose 100 data points between -1and 3.>> p=[1 4 -7 -10] 。
% uses polynomial p(x> = x3＋4x2－7x－10>> v=polyval(p , x> 。
计算x值上的p(x>，把结果存在v里。
然后用函数plot绘出结果。
>> plot(x , v>,title(' x^3+4x^2-7x-10 '>, xlabel(' x '>多项式估值七、有理多项式在许多应用中，例如富里哀(Fourier>，拉普拉斯(Laplace>和Z变换，出现有理多项式或两个多项式之比。
在MATLAB中，有理多项式由它们的分子多项式和分母多项式表示。
对有理多项式进行运算的两个函数是residue和polyder。
函数residue执行部分分式展开。