华东师大版八年级数学下册单元测试题全套（含答案）第16章单元检测卷(时间：120分，满分90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列式子是分式的是( ) A.a －b 2 B.5＋y π C.x ＋3xD ．1＋x 2．分式x －yx 2＋y2有意义的条件是( )A ．x≠0B ．y≠0C ．x≠0或y≠0D ．x≠0且y≠0 3．分式①a ＋2a 2＋3，②a －b a 2－b 2，③4a 12（a －b ），④1x －2中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．把分式2aba ＋b中的a ，b 都扩大到原来的2倍，则分式的值( )A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．缩小到原来的12 D ．不变5．下列各式中，取值可能为零的是( )A.m 2＋1m 2－1 B.m 2－1m 2＋1 C.m ＋1m 2－1 D.m 2＋1m ＋1 6．分式方程2x －3＝3x的解为( )A ． x ＝0B ．x ＝3C ．x ＝5D ．x ＝97．嘉怡同学在化简1m 1m 2－5m 中，漏掉了“ ”中的运算符号，丽娜告诉她最后的化简结果是整式，由此可以猜想嘉怡漏掉的运算符号是( )A ．＋B ．－C ．×D ．÷8．若a ＝－0.32，b ＝－3－2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2，d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－130，则正确的是( )A ．a ＜b ＜c ＜dB ．c ＜a ＜d ＜bC ．a ＜d ＜c ＜bD ．b ＜a ＜d ＜c 9．已知a 2－3a ＋1＝0，则分式a2a 4＋1的值是( )A ．3 B.13 C ．7 D.1710．某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为( )A.20x ＋10x ＋4＝15 B.20x －10x ＋4＝15 C.20x ＋10x －4＝15 D.20x －10x －4＝15二、填空题(每题3分，共30分)11．纳米(nm)是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1 nm ＝10－9m ．已知某种植物孢子的直径为45 000 nm ，用科学记数法表示该孢子的直径为____________m.12．若关于x 的分式方程2x －ax －1＝1的解为正数，那么字母a 的取值范围是____________．13．若|a|－2＝(a －3)0，则a ＝________． 14．已知1a ＋1b ＝4，则4a ＋3ab ＋4b－3a ＋2ab －3b ＝________.15．计算：a a ＋2－4a 2＋2a＝________.16．当x ＝________时，2x －3与54x ＋3的值互为倒数．17．已知a 2－6a ＋9与|b －1|互为相反数，则式子⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ÷(a＋b)的值为________．18．若关于x 的分式方程x x －3－m ＝m2x －3无解，则m 的值为________．19．当前控制通货膨胀、保持物价稳定是政府的头等大事，许多企业积极履行社会责任，在销售中保持价格稳定已成为一种自觉行为．某企业原来的销售利润率是32%.现在由于进价提高了10%，而售价保持不变，所以该企业的销售利润率变成了________．(注：销售利润率＝(售价－进价)÷进价)20．若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝________，b ＝________；计算：m ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋119×21＝________.三、解答题(21题20分，22题8分，23，24题每题6分，其余每题10分，共60分) 21．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋(3.14－π)0＋16－|－2|； (2)b 2c －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －2c 2－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2x 3÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 4； (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＋1÷m 2－4m 2＋m ；(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a －4＋4a ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －1.22．解分式方程：(1)12x －1＝12－34x －2. (2)1－2x －3＝1x －3.23．已知y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x －x ＋3，试说明：x 取任何有意义的值，y 值均不变．24．先化简，再求值：x －2x 2－1·x ＋1x 2－4x ＋4＋1x －1，其中x 是从－1，0，1，2中选取的一个合适的数．25．某校组织学生到生态园春游，某班学生9：00从樱花园出发，匀速前往距樱花园2 km 的桃花园．在桃花园停留1 h 后，按原路返回樱花园，返程中先按原来的速度行走了6 min ，随后接到通知，要尽快回到樱花园，故速度提高到原来的2倍，于10：48回到了樱花园，求这班学生原来的行走速度．26．观察下列等式：11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14. 将以上三个等式的两边分别相加，得：11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝1－14＝34. (1)直接写出计算结果：11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）＝________. (2)仿照11×2＝1－12，12×3＝12－13，13×4＝13－14的形式，猜想并写出：1n （n ＋3）＝________.(3)解方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18.参考答案一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.D 7．D 8.D9．D 分析：∵a 2－3a ＋1＝0，∴a 2＋1＝3a ，∴(a 2＋1)2＝9a 2，∴a 4＋1＝(a 2＋1)2－2a 2＝7a 2，∴原式＝a 27a 2＝17.故选D. 10．A二、11.4.5×10－512．a>1且a≠2 分析：先解方程求出x ，再利用x>0且x －1≠0求解．13．－3 分析：利用零指数幂的意义，得|a|－2＝1，解得a ＝±3.又因为a －3≠0，所以a ＝－3. 14．－1910 分析：利用整体思想，把所求式子的分子、分母都除以ab ，然后把条件整体代入求值．15.a －2a16.3 17.23分析：利用非负数的性质求出a ，b 的值，再代入所求式子求值即可．18．1或± 3 分析：本题利用了分类讨论思想．将原方程化为整式方程，得(1－m)x ＝m 2－3m.分两种情况：(1)当1－m ＝0时，整式方程无解，解得m ＝1；(2)当x ＝3时，原方程无解，把x ＝3代入整式方程，解得m ＝± 3.综上，得m ＝1或± 3. 19．20% 分析：设原来的售价是b 元，进价是a 元，由题意，得b －aa ×100%＝32%.解得b ＝1.32a.现在的销售利润率为b －（1＋10%）a（1＋10%）a×100%＝20%.20.12；－12；1021分析：∵1（2n －1）（2n ＋1）＝12（2n ＋1）－12（2n －1）（2n －1）（2n ＋1）＝122n －1＋－122n ＋1，∴a ＝12，b ＝－12.利用上述结论可得：m ＝12×(1－13＋13－15＋15－17＋…＋119－121)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－121＝12×2021＝1021.三、21.解：(1)原式＝2＋1＋4－2＝5； (2)原式＝b 2c －2·8b 6c －6＝8b 8c －8＝8b8c8；(3)原式＝x 4y 2·(－y 6x 3)·x 4y 4＝－x 5；(4)原式＝m ＋2m ＋1÷（m ＋2）（m －2）m （m ＋1）＝m ＋2m ＋1×m （m ＋1）（m ＋2）（m －2） ＝mm －2； (5)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4a －2×（a －2）2a ÷4－a a＝4（a －2）a ×a4－a ＝4（a －2）4－a.22．解：(1)方程两边同时乘2(2x －1)，得2＝2x －1－3. 化简，得2x ＝6.解得x ＝3.检验：当x ＝3时，2(2x －1)＝2(2×3－1)≠0， 所以，x ＝3是原方程的解． (2)去分母，得x －3－2＝1， 解这个方程，得x ＝6.检验：当x ＝6时，x －3＝6－3≠0， 所以x ＝6是原方程的解．23．解：y ＝x 2＋6x ＋9x 2－9÷x ＋3x 2－3x－x ＋3＝（x ＋3）2（x ＋3）（x －3）×x （x －3）x ＋3－x ＋3＝x －x ＋3＝3. 故x 取任何有意义的值，y 值均不变．24．解：原式＝x －2（x ＋1）（x －1）·x ＋1（x －2）2＋1x －1 ＝1（x －1）（x －2）＋1x －1＝1（x －1）（x －2）＋x －2（x －1）（x －2）＝1x －2. 因为x 2－1≠0，且x 2－4x ＋4≠0，且x －1≠0，所以x≠－1，且x≠1，且x≠2，所以x ＝0. 当x ＝0时，原式＝－12.25．解：设这班学生原来的行走速度为x km/h.易知从9：00到10：48共1.8 h ， 故可列方程为2x ＋660＋2－660x2x ＋1＝1.8，解得x ＝4.经检验，x ＝4是原方程的解，且符合题意． 答：这班学生原来的行走速度为4 km/h. 26．解：(1)n n ＋1 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3(3)仿照(2)中的结论，原方程可变形为13(1x －1x ＋3＋1x ＋3－1x ＋6＋1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18，即13x ＝116（x ＋9）， 解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解．第17章单元检测卷(满分：120分，时间：90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．小军用50元钱买单价为8元的笔记本，他剩余的钱数Q(元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系式为Q ＝50－8x ，则下列说法正确的是( ) A ．Q 和x 是变量 B ．Q 是自变量 C ．50和x 是常量 D ．x 是Q 的函数 2．函数y ＝1x －2＋x －2的自变量x 的取值范围是( ) A ．x≥2 B ．x>2 C ．x≠2 D ．x≤23．若函数y ＝m ＋2x 的图象在其所在象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是( )A ．m ＞－2B ．m ＜－2C ．m ＞2D ．m ＜24．设正比例函数y ＝mx 的图象经过点A(m ，4)，且y 的值随x 值的增大而减小，则m ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－45．汽车由A 地驶往相距120 km 的B 地，它的平均速度是30 km/h ，则汽车距B 地的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式及自变量t 的取值范围是( )A ．s ＝120－30t(0≤t≤4)B ．s ＝120－30t(t ＞0)C ．s ＝30t(0≤t≤4)D ．s ＝30t(t ＜4)6．无论m 为任何实数，关于x 的一次函数y ＝x ＋2m 与y ＝－x ＋4的图象的交点一定不在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．关于x 的函数y ＝k(x ＋1)和y ＝kx(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是( )A B C D8．在函数y ＝1x 的图象上有三个点的坐标为(1，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 2，(－3，y 3)，函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 2<y 1<y 3D ．y 3<y 1<y 29．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是( )(第9题图)A B C D10.如图，已知直线y ＝12x 与双曲线y ＝kx (k>0)交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4.点C 是双曲线上一点，且纵坐标为8，则△AOC 的面积为( )(第10题图)A ．8B ．32C ．10D ．15 二、填空题(每题3分，共30分)11．点A(2，a)关于x 轴的对称点是B(b ，－3)，则ab ＝________.12．一次函数y ＝kx ＋1的图象经过点(1，2)，反比例函数y ＝k x 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12，则m ＝________.13．已知直线y ＝kx ＋b ，若k ＋b ＝－5，kb ＝6，那么该直线不经过第______________象限． 14．把直线y ＝－x －1沿x 轴向右平移2个单位长度，所得直线对应的函数表达式为________． 15．反比例函数y 1＝kx 与一次函数y 2＝－x ＋b 的图象交于点A(2，3)和点B(m ，2)．由图象可知，对于同一个x ，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是________．16．已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点，若1x 2＝1x 1＋2，且y 2＝y 1－12，则这个反比例函数的表达式为____________．17．直线y 1＝k 1x ＋b 1(k 1＞0)与y 2＝k 2x ＋b 2(k 2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y 轴围成的三角形的面积为4，那么b 1－b 2等于________．18．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(单位：升)与时间x(单位：分)之间的部分关系如图所示．那么，从关闭进水管起________分钟该容器内的水恰好放完．(第18题图)19．已知点A 在双曲线y ＝－3x 上，点B 在直线y ＝x －5上，且A ，B 两点关于y 轴对称．设点A 的坐标为(m ，n)，则n m ＋mn的值是________．20．如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，…，那么点A 4n ＋1(n 为自然数)的坐标为________(用n 表示)．(第20题图)三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，其余每题12分，共60分) 21．已知一次函数y ＝32x －3.(1)请在如图所示的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (2)求出此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积．(第21题图)22．如图，反比例函数的图象经过点A 、B ，点A 的坐标为(1，3)，点B 的纵坐标为1，点C 的坐标为(2，0)．(1)求该反比例函数的表达式； (2)求直线BC 的表达式．(第22题图)23．已知反比例函数y ＝m －5x(m 为常数，且m≠5)．(1)若在其图象的每个分支上，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围； (2)若其图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象的一个交点的纵坐标是3，求m 的值．24．已知直线y ＝2x ＋3与直线y ＝－2x －1.(1)若两直线与y 轴分别交于点A ，B ，求点A ，B 的坐标； (2)求两直线的交点C 的坐标； (3)求△ABC 的面积．25．1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度上升．两个气球都匀速上升了50 min.设气球上升时间为x min(0≤x≤50)． (1)根据题意，填写下表：2号探测气球所在位置的海拔(m) 30 …(2)在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由．(3)当30≤x≤50时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？26．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h，并且甲车途中休息了0.5 h，如图是甲、乙两车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数图象．(第26题图)(1)求出图中m和a的值．(2)求出甲车行驶的路程y(km)与时间x(h)的函数关系式，并写出相应的x的取值范围．(3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km?参考答案一、1.A 2.B3．B 分析：易知m ＋2＜0，∴m＜－2. 4．B 5.A6．C 分析：一次函数y ＝－x ＋4的图象不经过第三象限，故一次函数y ＝x ＋2m 与y ＝－x ＋4的图象的交点一定不在第三象限． 7．D 8.D9．B 分析：当点P 由点A 向点D 运动时，y ＝0；当点P 在DC 上运动时，y 随x 的增大而增大；当点P 在CB 上运动时，y 不变；当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小． 10．D 分析：点A 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝12x ，得y ＝2.∴点A 的坐标为(4，2)．∵点A 是直线y ＝12x 与双曲线y ＝kx (k>0)的交点，∴k＝4×2＝8，即y ＝8x .将y ＝8代入y ＝8x 中，得x ＝1.∴点C 的坐标为(1，8)．如图，过点A 作x 轴的垂线，过点C 作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，且AM ，CN 的反向延长线交于点D ，得长方形DMON.易得S 长方形DMON ＝32，S △ONC ＝4，S △CDA ＝9，S △OAM ＝4. ∴S △AOC ＝S 长方形DMON －S △ONC －S △CDA －S △OAM ＝32－4－9－4＝15.(第10题答图)二、11.6 12.213．一 分析：∵kb＝6>0，∴k，b 一定同号(同时为正或同时为负)．∵k＋b ＝－5，∴k<0，b<0，∴直线y ＝kx ＋b 经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 14．y ＝－x ＋1 15．0＜x ＜2或x ＞316．y ＝－14x 分析：设反比例函数的表达式为y ＝k x ，则y 1＝k x 1，y 2＝k x 2.因为y 2＝y 1－12，所以k x 2＝k x 1－12，所以1x 2＝1x 1－12k .又1x 2＝1x 1＋2，所以－12k ＝2，解得k ＝－14，因此反比例函数的表达式为y ＝－14x .17．418．8 分析：由函数图象，得进水管每分钟的进水量为20÷4＝5(升)，设出水管每分钟的出水量为a 升.由函数图象，得20＋8(5－a)＝30，解得a ＝154.故关闭进水管后出水管放完水的时间为30÷154＝8(分)．19．－313 分析：因为点A(m ，n)在双曲线y ＝－3x 上，所以mn ＝－3.因为A ，B 两点关于y 轴对称，所以点B 的坐标为(－m ，n)．又点B(－m ，n)在直线y ＝x －5上，所以n ＝－m －5，即n ＋m ＝－5.所以n m ＋m n ＝m 2＋n2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝（－5）2－2×（－3）－3＝－313.20．(2n ，1) 分析：根据图形分别求出n ＝1，2，3时对应的点的坐标，然后根据变化规律即可得解．由图可知，n ＝1时，4×1＋1＝5，点A 5(2，1)；n ＝2时，4×2＋1＝9，点A 9(4，1)；n ＝3时，4×3＋1＝13，点A 13(6，1)，所以点A 4n ＋1(2n ，1)． 三、21.解：(1)函数图象如图所示.(2)函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为12×2×3＝3.(第21题图)22．解：(1)设所求反比例函数的表达式为y ＝kx (k≠0)．∵点A(1，3)在此反比例函数的图象上， ∴3＝k1，∴k＝3.∴该反比例函数的表达式为y ＝3x.(2)设直线BC 的表达式为y ＝k 1x ＋b(k 1≠0)，点B 的坐标为(m ，1)． ∵点B 在反比例函数y ＝3x 的图象上，∴1＝3m，∴m＝3，∴点B 的坐标为(3，1)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3k 1＋b ，0＝2k 1＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝1，b ＝－2.∴直线BC 的表达式为y ＝x －2.23．解：(1)∵在反比例函数y ＝m －5x 图象的每个分支上，y 随x 的增大而增大，∴m－5<0，解得m<5.(2)当y ＝3时，由y ＝－x ＋1，得3＝－x ＋1，解得x ＝－2.∴反比例函数y ＝m －5x 的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象的一个交点坐标为(－2，3)．∴3＝m －5－2，解得m ＝－1.24．解：(1)对于y ＝2x ＋3，令x ＝0，则y ＝3. ∴点A 的坐标为(0，3)．对于y ＝－2x －1，令x ＝0，则y ＝－1. ∴点B 的坐标为(0，－1)． (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝－2x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴点C 的坐标为(－1，1)．(3)△ABC 的面积为12×[3－(－1)]×|－1|＝2.25．解：(1)35；x ＋5；20；0.5x ＋15. (2)两个气球能位于同一高度．根据题意，得x ＋5＝0.5x ＋15，解得x ＝20. 有x ＋5＝25.答：这时气球上升了20 min ，都位于海拔25 m 的高度． (3)当30≤x≤50时，由题意可知1号探测气球所在位置的海拔始终高于2号探测气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差y m.则y ＝(x ＋5)－(0.5x ＋15)＝0.5x －10. ∵0.5>0，∴y 随x 的增大而增大． ∴当x ＝50时，y 取得最大值15.答：两个气球所在位置的海拔最多相差15 m. 26．解：(1)由题意，得m ＝1.5－0.5＝1. 由于甲车在行驶时的速度都是相同的， 则有a 1＝120－a 3.5－1.5，解得a ＝40. ∴m＝1，a ＝40.(第26题答图)(2)如图，设直线l OA ：y ＝k 1x ，直线l BC ：y ＝k 2x ＋b 1.∵直线l OA 经过点A(1，40)，直线l BC 经过点B(1.5，40)，C(3.5，120)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧40＝k 1，40＝1.5k 2＋b 1，120＝3.5k 2＋b 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝40，k 2＝40，b 1＝－20. 又∵D 点的纵坐标为260， ∴260＝40x －20，解得x ＝7. 综上可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x （0≤x≤1），40 （1＜x≤1.5），40x －20 （1.5＜x≤7）.(3)如图，设直线l EC ：y ＝k 3x ＋b 2，将点E(2，0)，C(3.5，120)的坐标分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 2，120＝3.5k 3＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝80，b 2＝－160，∴直线l EC ：y ＝80x －160.若两车恰好相距50 km ，则时间肯定在1.5 h 之后，有两种情况，一种是乙车比甲车多行驶50 km ，另一种是甲车比乙车多行驶50 km ，由此可列方程：|(80x －160)－(40x －20)|＝50， 化简，得|40x －140|＝50，解得x 1＝194，x 2＝94.当x ＝194时，x －2＝194－2＝114；当x ＝94时，x －2＝94－2＝14.∴当乙车行驶14 h 或114 h 时，两车恰好相距50 km.第18章单元检测卷(时间：120分，满分：90分钟)一、选择题(每题3分，共30分)1．在如图所示的网格中，以格点A ，B ，C ，D ，E ，F 中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(第1题图) (第2题图)2．平行四边形ABCD 与等边三角形AEF 按如图所示的方式摆放，如果∠B＝45°，则∠BAE 的大小是( )A ．75°B ．80°C ．100°D ．120°3．如图，在▱ABCD 中，已知AD ＝12 cm ，AB ＝8 cm ，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则CE 的长等于( )A ．8 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm(第3题图) (第5题图) (第6题图)4．已知平行四边形的一边长为14，下列各组数据中能分别作为它的两条对角线的长的是( )A ．10与16B ．12与16C ．20与22D ．10与405．如图，已知▱ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(－2，3)，则点C的坐标为( )A．(－3，2) B．(－2，－3) C．(3，－2) D．(2，－3)6．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10 cm，AD＝8 cm，AC⊥BC，则OB等于( ) A．6 cm B.73 cm C．11 cm D．273 cm7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8 cm，AD＝12 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上，以每秒4 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P达到点D时停止(同时点Q也停止)．在运动过程中，以P，D，Q，B四点为顶点组成平行四边形的次数有( ) A．4次 B．3次 C．2次 D．1次(第7题图) (第8题图)8．如图所示，EF过▱ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长是( )A．10 B．11 C．12 D．139．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE 中，DE的最小值是( )A．2 B．3 C．4 D．5(第9题图) (第10题图)10．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD边上的F点处，若△FDE的周长为14，△FCB的周长为22，则FC的长度为( )A．4 B．6 C．5 D．3二、填空题(每题3分，共30分)11．在四边形ABCD中，若分别给出三个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③AB＝CD.现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是________(只填序号，填上一组即可)．12．在▱ABCD中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，D(0，1)，则点C的坐标为________．13．已知任意直线l把▱ABCD分成两部分，如图所示，要使这两部分的面积相等，直线l所在位置需满足的条件是______________________．(第13题图) (第14题图)14．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，BC ＝6，DE ＝2.则▱ABCD 的周长等于________． 15．如图所示，AC 平分∠BAD，∠1＝∠2，AB ＝DC ＝3，则BC ＝________．(第15题图) (第16题图)16．如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC 于点E ，AF⊥CD 交DC 的延长线于点F ，若AE ＝3，AF ＝4，▱ABCD 的周长为28，则S ▱ABCD ＝________．17．如图，在▱ABCD 中，点E 在CD 边上运动(不与C ，D 两点重合)，连结AE 并延长与BC 的延长线交于点F.连结BE ，DF ，若△BCE 的面积为8，则△DEF 的面积为________．18．如图，在▱ABCD 中，AB ＝6 cm ，∠BCD 的平分线交AD 于点E ，则DE ＝________．(第17题图) (第18题图) (第19题图)19．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，且AD ＝2BC ，BC ＝6 cm ，P ， Q 分别从A ，C 同时出发，P 以2 cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以1 cm/s 的速度由C 向B 运动，设运动时间为x s ，则当x ＝________时，四边形CDPQ 是平行四边形．20．如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB 上，连结EF ，CF.则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)①∠DCF＝12∠BCD；②EF＝CF ； ③S △BEC ＝2S △CEF ； ④∠DFE＝3∠AEF.(第20题图)三、解答题(21，22题每题8分，23，24题每题10分，其余每题12分，共60分)21．已知：如图，点P 是▱ABCD 的对角线AC 的中点，经过点P 的直线EF 交AB 于点E ，交DC 于点F.求证：AE ＝CF.(第21题图)22．如图所示，已知在▱ABCD中，M，N分别是AB，CD上的点，AM＝CN，E，F是AC上的点，AE＝CF，试说明：四边形MENF是平行四边形．(第22题图)23．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，点G，H分别为AD，BC的中点，连结GH 交BD于点O.求证：EF与GH互相平分．(第23题图)24．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F.(1)求证：DE＝BF.(2)连结EF，写出图中所有的全等三角形．(不要求证明)(第24题图) 25．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(第25题图)(1)求证：△ABD≌△CAE.(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置关系和数量关系？请证明你的结论．26．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.(1)试判断四边形EGFC的形状；(2)求证：△DCG≌△BEG；(3)试求出∠BDG的度数．(第26题图)参考答案一、1.B 分析：可以画出的平行四边形有：▱ABEC，▱BDEC，▱BEFC，共3个．2．A 3.C 4.C5．D 分析：由平行四边形是中心对称图形，可知C点的坐标为(2，－3)．6．B7．A 分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC＝AD ＝12 cm ，AD∥BC.∵四边形PDQB 是平行四边形，∴PD ＝BQ.∵点P 的速度是1 cm/s ，∴两点运动的时间为12÷1＝12(s)，∴点Q 运动的路程为12×4＝48(cm)，∴点Q 在BC 上运动的次数为48÷12＝4(次)．第一次：12－t ＝12－4t ，∴t＝0，此时两点都没有运动．易知点Q 在BC 上的每次运动都会有PD ＝QB ，∴在运动过程中，以P ，D ，Q ，B 四点为顶点组成平行四边形的次数有4次，故选A. 8．C 9.B10．A 分析：由题意可知FB ＝AB ＝DC ，AE ＝EF ，∵△FDE 的周长为14，△FCB 的周长为22，∴△FDE 的周长＋△FCB 的周长＝DE ＋DF ＋EF ＋FC ＋BC ＋FB ＝36，∴DE＋AE ＋DF ＋FC ＋BC ＋AB ＝36.∵DE＋AE ＝AD ＝BC ，DF ＋FC ＝DC ＝AB ，∴DC＋BC ＝18，∴BC＋FB ＝18，∴FC＝△FCB 的周长－(BC ＋FB)＝22－18＝4. 二、11.①②(答案不唯一) 12．(3，1)13．l 过平行四边形对角线的交点14．20 分析：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AE∥BC，AD ＝BC ，AB ＝CD ，∴∠AEB＝∠EBC.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠A BE ＝∠AEB，∴AB＝AE.∵AE＋DE ＝AD ＝BC ＝6，∴AE＋2＝6，∴AE＝4，∴AB＝CD ＝4.∴▱ABCD 的周长为4＋4＋6＋6＝20. 15．316．24 分析：设BC ＝x ，CD ＝y.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，AD ＝BC.∵▱ABCD 的周长为28，∴x＋y ＝14.∵BC·AE＝CD·AF，∴3x＝4y.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝14，3x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝6，∴S ▱ABCD ＝3×8＝24. 17．8 分析：连结AC.易知AB∥CE，∴S △ACE ＝S △BCE ＝8.∵CF∥AD，∴S △CAD ＝S △FAD .∵S △CAD ＝S △AED ＋S △ACE ，S △FAD ＝S △AED ＋S △DEF ，∴S △DEF ＝S △ACE ＝8.18．6 cm 分析：由四边形ABCD 是平行四边形，得AD∥BC，所以∠BCE＝∠DEC，由CE 是∠BCD 的平分线，可得∠DCE＝∠BCE，从而可得∠DCE＝∠DEC，所以DE ＝DC ，又易知DC ＝AB ＝6 cm ，所以DE ＝6 cm. 19．4 分析：当运动时间为x s 时，AP ＝2x cm ，QC ＝x cm ，因为四边形CDPQ 是平行四边形，所以DP ＝CQ ，即x ＝12－2x ，解得x ＝4. 20．①②④三、21.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠FCP＝∠EAP.又∵点P 是AC 的中点，∴AP＝CP. 在△FCP 和△EAP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FPC＝∠EPA，CP ＝AP ，∠FCP＝∠EAP， ∴△FCP≌△EAP. ∴AE＝CF.22．解：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB∥DC，所以∠MAE＝∠NCF，又因为AM ＝CN ，AE ＝CF ，所以△AME≌△CNF.所以ME ＝NF.又因为AF ＝AE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ，所以AF ＝CE.又因为∠MAF＝∠NCE，AM ＝CN ，所以△AMF≌△CNE，所以MF ＝NE.所以四边形MENF 是平行四边形． 23．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，AB∥CD，AD ＝BC ，AD∥BC.∴∠ABE＝∠CDF. 又∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∴△ABE≌△CDF.∴BE＝DF. ∵G，H 分别为AD ，BC 的中点， ∴GD＝12AD ，HB ＝12BC.∴GD＝HB.∵AD∥BC，∴∠GDO＝∠HBO，∠OGD＝∠OHB. ∴△GDO≌△HBO. ∴DO＝BO ，GO ＝HO. 又∵DF＝BE ，∴OF＝OE. ∴EF 与GH 互相平分．24．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD＝CB ，AB ＝CD ，CD∥AB，∴∠CDE＝∠AED.∵DE 平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD.同理可得CF ＝CB. 又∵AD＝CB ，∴AE＝CF ，∴DF＝BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∴DE＝BF. (2)解：△ADE≌△CBF， △DEF≌△BFE.25．(1)证明：因为AB ＝AC ，所以∠B＝∠ACB，又因为AD 是BC 边上的中线， 所以AD⊥BC，即∠ADB＝90°. 因为AE∥BC，所以∠EAC＝∠ACB， 所以∠B＝∠EAC.因为CE⊥AE，所以∠CEA＝90°， 所以∠ADB＝∠CEA. 又AB ＝CA ，所以△ABD≌△CAE(A.A.S.)． (2)解：AB∥DE 且AB ＝DE.证明：由△ABD≌△CAE 可得AE ＝BD ，又AE∥BD，所以四边形ABDE 是平行四边形，所以AB∥DE 且AB ＝DE. 26．(1)解：∵FG∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形EGFC 是平行四边形．(2)证明：∵在平行四边形ABCD 中，∠ABC＝120°，AF 平分∠BAD， AD∥BC，∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝30°，∴AB＝BE ，∠CEF＝30°. 又∵∠DCB＝180°－120°＝60°，∴∠CFE＝30°. ∴∠CEF＝∠CFE. ∴CF ＝CE.∵四边形EGFC 是平行四边形， ∴CF∥EG，CF ＝EG.∴∠CEG＝∠DCB＝60°，CE ＝EG. ∴△CEG 是等边三角形，∠BEG＝120°.∴CG＝EG ，∠ECG＝60°.∴∠DCG＝120°，∴∠DCG＝∠BEG. 又 ∵DC＝AB ＝BE ， ∴△DCG≌△BEG. (3)解：∵△DCG≌△BEG， ∴DG＝BG ，∠CGD＝∠EGB，∴∠BGD＝∠EGB＋∠DGE＝∠CGD＋∠EGD＝∠EGC＝60°， ∴△BDG 是等边三角形， ∴∠BDG＝60°.第19章单元检测卷(满分：120分，时间：90分钟)一、选择题(每题3分，共30分) 1．下列命题是真命题的是( )A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．如图，矩形OBCD 的顶点C 的坐标为(1，3)，则对角线BD 的长等于( )A.7 B ．2 2 C ．2 3 D.10(第2题图) (第3题图) (第4题图)3．如图，在菱形ABCD 中，∠C＝108°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连结AP ，则∠APB 等于( )A. 50° B ．72° C. 70° D．80°4．如图，菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，若反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点A ，则此反比例函数的表达式为( )A ．y ＝3x (x>0)B ．y ＝－3x (x>0)C ．y ＝－6x (x>0)D ．y ＝6x (x>0)5．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中错误的有( )①当AB ＝BC 时，它是菱形；②当AC⊥BD 时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC ＝BD 时，它是正方形．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )A.12B.98C ．2D ．4(第6题图)7．如图，菱形ABCD 的周长为16，面积为12，P 是对角线BD 上一点，分别作P 点到直线AB ，AD 的垂线段PE ，PF ，则PE ＋PF 等于( )A ．6B ．3C ．1.5D ．0.75(第7题图) (第8题图)8．如图所示，在正方形ABCD 的内部，作等边三角形BCE ，则∠AEB 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°9．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝5，AC ＝6，AE⊥BC 于E ，则AE 等于( )A ．4 B.125 C.245D ．5(第9题图) (第10题图)10．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点(不与A ，B 重合)，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点P 分别作AC ，BD 的垂线，分别交AC ，BD 于点E ，F ，交AD ，BC 于点M ，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM ＋PN ＝BD ；③PE 2＋PF 2＝PO 2.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 二、填空题(每题3分，共30分)11．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从(1)AB＝CD；(2)AB∥CD；(3)OA＝OC；(4)OB＝OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如(1)(2)(5)⇒四边形ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒四边形ABCD是菱形；________⇒四边形ABCD是菱形．12．如图所示，矩形ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长为________．(第12题图) (第13题图) (第14题图)13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为________．14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC＝4，AE＝5，则四边形ACBE 的周长是________．15．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE ＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF.其中正确的结论是________．(填序号)(第15题图) (第16题图) (第17题图)16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ的周长的最小值为________．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AD上一点，把△ABE沿BE折叠，使点A落在点F处，点Q是CD上一点，将△BCQ沿BQ折叠，点C恰好落在直线BF上的点P处．若∠BQE＝45°，则AE＝________．18．如图，正方形ABCD外有一点M，连结AM，BM，CM.若△AMB，△BMC和正方形ABCD的面积分别是50 cm2，30 cm2和100 cm2，则AM＝________cm.19．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF 的中点，则AM的最小值为____________．(第18题图) (第19题图) (第20题图)20．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、正方形A3B3C3C2、正方形A4B4C4C3、…、正方形A nB nC n C n－1按如图所示的方式放置，其中点A1，A2，A3，A4，…，A n均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1，C2，C3，C4，…，C n均在x轴上．若点B1的坐标为(1，1)，点B2的坐标为(3，2)，则点A n的坐标为________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，若∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．(第21题图)22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于点E，过点E作EG⊥AB于G，连结GF.求证：四边形CFGE是菱形．(第22题图)23．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC 于点G，连结AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第23题图)24．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________°.(第24题图)25．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)过点C作CG∥EA交AF于点H，交AD于点G，若∠BAE＝30°，∠BCD＝130°，求∠AHC的度数．(第25题图)26．在▱ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作直线EF，GH，分别交平行四边形的四条边于E，F，G，H四点，连结EG，GF，FH，HE.(1)如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是________；(3)如图③，在(2)的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是________；(4)如图④，在(3)的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．(第26题图)参考答案一、1.A 2.D 3.B4．D 分析：∵菱形OABC 的顶点B 在y 轴上，顶点C 的坐标为(－3，2)，∴点A 的坐标为(3，2)，∴k3＝2，解得k ＝6，∴y＝6x(x>0)．故选D.5．A 分析：①当AB ＝BC 时，它是菱形，正确；②当AC⊥BD 时，它是菱形，正确；③当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确；④当AC ＝BD 时，它是矩形，因此④是错误的．6．C 分析：∵AB＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，∴DB＝8－6＝2，∠EAD＝45°.又∵将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，∴AB＝AD －DB ＝6－2＝4，△ABF 为等腰直角三角形，∴BF ＝AB ＝4，∴CF＝BC －BF ＝6－4＝2，而EC ＝DB ＝2，∴△CEF 的面积＝12×2×2＝2.7．B 8.D 9.C10．D 分析：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠PAE＝∠MAE＝45°.∵PM⊥AC，∴∠PEA＝∠MEA.又∵AE＝AE ，∴△APE≌△AME，故①正确；由①得PE ＝ME ，∴PM＝2PE.同理PN ＝2PF ，又易知PF ＝BF ，四边形PEOF 是矩形，∴PN＝2BF ，PM ＝2FO ，∴PM＋PN ＝2FO ＋2BF ＝2BO ＝BD ，故②正确；在Rt△PFO 中，∵FO 2＋PF 2＝PO 2，而PE ＝FO ，∴PE 2＋PF 2＝PO 2，故③正确． 二、11.(1)(2)(6)；(3)(4)(5)（答案不唯一）12. 3 分析：连结EC.因为FC 垂直平分BE ，所以BC ＝EC.又因为AD ＝BC ，AE ＝1，E 是AD 的中点，所以DE ＝1，EC ＝AD ＝2，利用勾股定理可得CD ＝ 3.所以AB ＝ 3.13．12 点拨：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积＝12×6×8＝24.∵O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×24＝12.14．18 分析：易证△AED≌△DBC，∴BD＝AE ＝5，由勾股定理得CD ＝3，∴AC＝2CD ＝6，易得四边形BCDE 是矩形，∴BE＝CD ＝3，∴四边形ACBE 的周长为4＋6＋5＋3＝18. 15．①②16．6 分析：连结DE 交AC 于点Q′.∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与点D 关于直线AC 对称，∴DE 的长即为BQ ＋QE 的最小值，Q′是使△BEQ 的周长为最小值时的点．由勾股定理得DE ＝AD 2＋AE 2＝42＋32＝5，∴△BEQ 的周长的最小值＝DE ＋BE ＝5＋1＝6.17．2 分析：由折叠知∠EBQ＝12∠ABC＝45°.∵∠BQE＝45°，∴∠BEQ ＝90°，BE ＝EQ.易证△BAE≌△EDQ，∴ED＝AB ＝4，∴AE＝AD －ED ＝6－4＝2.18.356 分析：作ME⊥AB，交AB 的延长线于点E.作MG⊥BC，交CB 的延长线于点G.设MG ＝m cm ，ME ＝n cm.由题意可知AB ＝10 cm ，∵△ABM 和△BMC 的面积分别为50 cm 2，30 cm 2，∴10n＝50×2，10m ＝30×2，∴n＝10，m ＝6，∴AE＝16 cm.∴在Rt△AME 中，AM ＝162＋102＝356(cm)．19．2.4 分析：连结AP.在△ABC 中，∵AB＝6，AC ＝8，BC ＝10，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴∠BAC＝90°.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF＝AP.∵M 是EF 的中点，∴AM＝12AP.根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线段最短，可知当AP⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短．当AP⊥BC 时，12AB·AC＝12BC·AP，即12×6×8＝12×10AP，∴AP＝4.8.∴AM 的最小值为12×4.8＝2.4. 20．(2n －1－1，2n －1) 分析：本题运用从特殊到一般的思想.由题意，得点A 1(0，1)，A 2(1，2)，A 3(3，4)，A 4(7，8)，…，根据以上总结规律，可得A n (2n －1－1，2n －1)．三、21.解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AO ＝BO ＝12AC ＝12BD.∵AE 是∠BAD 的平分线，∴∠BAE＝45°.又∵∠CAE＝15°，∴∠BAC＝60°. ∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO＝60°，AB ＝OB.在Rt△ABE 中，∵∠BAE＝45°，∴∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE，∴AB＝BE.∴OB＝BE.∴∠BOE＝∠BEO.又∵∠OBE＝∠ABC－∠ABO＝90°－60°＝30°， ∴∠BOE＝12×(180°－30°)＝75°.22．证明：由∠ACB＝90°，AE 平分∠BAC，EG⊥AB， 易证△ACE≌△AGE， ∴CE＝EG ，∠AEC＝∠AEG. ∵CD 是AB 边上的高，EG⊥AB， ∴EG∥CD， ∴∠EFC＝∠AEG， ∴∠EFC＝∠AEC， ∴FC＝EC ，∴FC＝EG ， ∴四边形CFGE 是平行四边形． 又∵GE＝CE ，∴四边形CFGE 是菱形．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AD ＝AB. 由折叠可知，AD ＝AF ，∠AFE＝∠D＝90°，∴∠AFG＝90°，AB ＝AF. ∴∠B＝∠AFG＝90°. 又∵AG＝AG ，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ， ∵E 为CD 的中点， ∴EF＝DE ＝CE ＝3， ∴EG＝x ＋3，在Rt△CEG 中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x ＋3)2，解得x ＝2， ∴BG＝2.24．(1)证明：在正方形ABCD 中，BC ＝DC ，∠BCP＝∠DCP＝45°. 在△BCP 和△DCP 中，。