则当X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时，D皆为 强化算子。（证明从略）
均值生成
定义 1 设序列
X ( x(1), x(2),, x(k ), x(k 1), x(n))
x(k ) 与 x(k 1) 为X的一对紧邻值， x(k ) 称为前值， x(k 1) 称为后值，若 x(n) 为新信息，则对任意 k n 1, x(k ) 为
L(x) R(x)
x
0 x1 x2 x3 x4
二、序列算子和灰色序列的生成
灰色系统中原始数据中的信息是不完全的。灰 色系统往往通过对原始数据的挖掘和整理来降低信 息的不确定性，这一数据预处理过程称为灰色序列 的生成，生成灰色序列的方法称为序列算子。 生成灰色序列的常用算子有：缓冲算子、均值 算子和累加算子等。
1、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速 度）减缓或振幅减小，称缓冲算子D为弱化算子。
2、若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速 度）加快或振幅增大，称缓冲算子D为强化算子。
缓冲算子的性质 定理1 设X为单调增长序列，XD为其缓冲序列，则有 1、D为弱化算子x(k ) x(k )d , k 1,2,n;
2、D为强化算子x(k ) x(k )d , k 1,2,n;
即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用 下数据萎缩。
定理2 设X为单调衰减序列，XD为其缓冲序列，则有
1、D为弱化算子x(k ) x(k )d , k 1,2,n; 2、D为强化算子x(k ) x(k )d , k 1,2,n; 即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用 下数据膨胀。
作用序列， XD 1 D2 D3 为三阶算子作用序列。 公理1 （不动点公理） 设X为系统行为序列，D为序列算子， 则D满足
x(n)d x(n)
公理2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列X中的每 一个数据 x(k ), k 1,2,, n 都应该充分的参与算子作 用的全过程。
公理3 （解析化、规范化公理）任意的， x(k )d k 1,2,, n 都可以由一个统一的 x(1), x(2),, x(n) 的初等解析式表 达。 上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公 理的序列算子称为缓冲算子。 设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长 序列、衰减序列或振荡序列时：
即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取数一 致时，灰数的自差采等于0。 如： ∈[2，5]， - =0 取数一致
∈[-3，3] 取数不一致
再如： /
=1
取数一致
∈[2/5，5/2] 取数不一致
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称 为典型的白化权函数。 f(x) 1
项目 研究对象 基础集合 方法依据 途径手段 数据要求 侧重 目标 特色
灰色系统 贫信息不确定 灰色朦胧集 信息覆盖 灰序列生成 任意分布 内涵 现实规律 小样本
概率统计 随机不确定 康托集 映射 频率分布 典型分布 内涵 历史统计规律 大样本
模糊数学 认知不确定 模糊集 映射 截集 隶属度可知 外延 认知表达 凭借经验
定义4 设 X ( x(1), x(2),, x(k 1), (k ), x(k 1), x(n))
x* (k ) 0.5x(k 1) 0.5x(k 1) 为非紧邻均值生成数，用
非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序
列。
定义 5 设序列 X ( x(1), x(2), x(n)) 若
x* (k ) 0.5x(k ) 0.5x(k 1)
则称
x* (k ) 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列
称为紧邻均值生成序列。在GM建模，常用紧邻信息的均值生成， 它是以原始序列为基础构造新序列的方法。
注意：设 X ( x(1), x(2), x(n)) 为n元序列，Z为X的紧邻均值

1 2
而得到的白化值称为等权均
定义：设区间灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
1 a (1 )b 2 a (1 )b
~
~
(0,1), (0,1)

时，称为
当 时称 1与2取数一致；当 取数不一致。 定理1：区间灰数不能相消、相约。
模糊数学着重研究“认知不确定”问题,其研究 对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如， “年轻人”，“有钱”。 灰色系统理论着重研究“小样本, 贫信息”认知 不确定问题，其研究对象具有“外延明确、内涵不 明确”的特点。 例如，“ 8万到10万之间” 就是一个灰概念， 其外延明确，但内涵不清楚。
其中,
(1 , 2 ,, n )
X ( 0) 展开
为冲击扰动项,则称X为冲击扰动序列. 本节的讨论围绕一个总目标:由 X
定义2 设系统行为数据序列为X（x(1),x(2),…,x(n)),若 1、任意k=2,3,…,n,总有x(k)-x(k-1)>0, 则称X为单调增长序列； 2、1中不等号反过来成立，则称X为单调衰减序列； 3、存在
令 XD ( x(1)d , x(2)d ,, x(n)d ))
其中
定理4 设原始数据序列X=
( x(1), x(2),, x(n))
令 XD ( x(1)d , x(2)d ,, x(n)d ))
其中
x(1) x(2) x(k 1) kx (k ) x(k )d ; k 1,2, n 1 2念与基本原理， 重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型—— GM(1,1)模型。 目标不在于讨论灰色系统理论的理论基础，而 是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。 如有同学对该理论的理论基础该兴趣，我们可 以课下讨论。
一、灰色系统的基本概念与基本原理
灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于 1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性 问题的新方法。 概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种 最常用的不确定性系统研究方法。 概率统计研究的是“随机不确定”现象,着 重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点 是大样本，并要求对象服从某种典型分布。
则称 生成时，称生成值
x(k ) 为 [ x(k ), x(k 1)] 的内点。
x(k 1) 为序列X中的一对紧邻值，若有 1、 x(k 1)为老信息，x(k ) 为新信息； * x 2、 (k ) x(k ) (1 ) x(k 1), [0,1]
定义3 设 x(k ) 与
¼ 3.1 Í 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 µÁ Ï Ð1
8 6 4 2 0 系列1 1 1 2 3
图3.2
系列1
1 1
2 2
3 1.5
4 3
3 4.5
4 7.5
1. 缓冲算子
有时，问题中的原始数据受到某种冲击干扰而 失真，数据已不能正确反映系统的真实变化规律。 此时，要设法排除数据所受到的干扰，还数据以本 来面目，从而提高预测的精度。 灰色系统中通常用缓冲算子来减缓或加快原始 数据的增长 (衰减)速度，分别称之为弱化算子或强化 算子。
⑥若cd>0, 则 1/ 2= 1· 2-1 ∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}] ⑦若k为正实数 则： k1 ∈[ka, kb]
a (1 )b, (0,1) 的白化称为等权白化。
~
定义：形如
定义：在等权白化中 值白化。
e、黑数与白数 当 ∈(- ∞, ∞)，即当 的上界、下界皆为无穷，称 为黑数，当 ∈ [a,b]且a=b,时，称为白数。 f、本征灰数与非本征灰数 本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为 其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段， 可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。 从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰 数。
定义 1 设
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为:
X ( x(1), x(2),, x(n)) ( x (0) (1) 1 , x (0) (2) 2， ，x (0) (n) n ) X (0)
k , k 2,
3,
,
n
有
x (为随机振荡序列。设 k ) x(k 1) 0M=max x(k ) x(k 1) 0 则称 X
m=min 称M—m为序列X的振幅。
x(k ) k 1,2,, n x(k ) k 1,2,, n
定义3 （序列算子的定义） 设X为系统行为数据序列，D为作
公理4 认知根据原理——信息是认知的根据； 公理5 新信息优先原理——新信息对认知的作 用优于老信息； 公理6 灰性不灭原理——信息不完全 (灰)是绝 对的。
3.灰数及其运算
1. 灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数，通常记 为：。 灰数的种类： a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b ] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取 值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。
(k ) 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当 * x >0.5时，称 (k ) 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当
则称 x
*
<0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当 =0.5，称x* (k ) 的生成为非偏生成。 为在 k 处有空穴 ( k )的序列，而
老信息。 定义2 设序列X在k处有空穴，记为 ( k ) ，即