一. 质点P 在水平面内沿一半径为R =1m 的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2，已知t =2s 时，质点P 的速率为16m/s ，试求t =1s 时，质点P 加速度的大小。

解：质点的速率v=R ω=kt 2
t=2s ，v=16，因此k=4
t=1s ，a t =ω2R=16，a n =Rd ω/dt=8
P 点加速度的大小为85t n a a +=
二. 如图所示，一质点m 旁边放一长度为L 、质量为M 的杆，杆离质点近端距离为l 。

求该细杆M
解： 在杆上选取积分元dx ，建立数轴，定位积分元。

如图所示。

则积分元对质点m 的引力为
2mdM
df G r = 其中/dM dx r l L x M L λλ==+-=
因此20()()L m dx
mM F dx G G l L x l l L λ===+-+⎰⎰
上式结果是杆对质点的万有引力。

根据牛顿第三定律，细杆所受到质点的万有引力为()mM
F G l l L =+，方向为x 轴负方向。

三. 质量为m 的人站在质量为M ，长为L 的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。

当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远
解：
选人和船组成的系统，其水平方向动量守恒 上式两边同乘dt ，并积分 用 S 和s 表示船和人相对于岸移动的距离，则
四. 质量为10kg 的质点，在外力作用下，在 x , y 平面上作曲线运动，该质点速度为 求在质点从 y = 16 m 到 y = 32 m 的过程中，外力做的功。

m x dx L M O
x 0
m MV -=v 00d d 0
t t
m t M V t -=⎰⎰v 0dt t
S V =⎰0d t s t =⎰v ms MS
∴=s S L +=m S L M m =+M
s L
M m =+2416t i j
=+v v v v d 80 d F m t i t ==r
r r v d (d d )A F r F xi yj =⋅=⋅+⎰⎰r r r r r 80 (d d )
t i xi yj =⋅+⎰r r r 80 d t x =⎰
五 如图所示，一杆长cm 100=l ，可绕通过其上端的水平光滑固定轴O 在
竖直平面内转动，相对于O 轴的转动惯量2m kg 20⋅=J 。

原来杆静止并自
然下垂。

若在杆的下端水平射入质量kg 01.0=m 、速率1s m 400-⋅=v 的子弹并嵌入杆内，计算杆和子弹一起运动时的角速度的大小。

解： 子弹打入杆时，将杆与子弹视为一刚体，水平飞来子弹与刚体视为一系统．由角动量守恒得：
ω)(2J ml mvl +=
)rad/s (2.020101.0140001.022=+⨯⨯⨯=+=J ml mvl ω
五一半径为R ，质量为m 的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上，绕通过原判中心垂直于地面的竖直Z 轴转动。

求对Z 轴的摩擦力矩（设
摩擦系数为）
解：选取半径为ｒ，宽度为ｄｒ的圆环为积
分元，因为在圆周上摩擦力矩方向相同，所
以可以以圆环为力矩微分元，其大小为
其中：
O
v ρm
l
3320 d A t t
=⎰2
31320d 1200A t t J ==⎰Z M r F =⨯d d r u r 22
22m mr r m r r R R =⋅⋅=d d πd πr mg μ=d 222m gr r M R μ=d d
220223
r
mgr r M M mgR R μμ===⎰⎰d d。