旋转与全等、相似的典型类型总结25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3） 设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是AB 上的动点（不与A 、B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 中作内接矩形AMPN ．令AM=x ．（1）用含x 的代数式表示△MNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在点M 的运动过程中，设△MNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？．B （第24题）B （第24题）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF ＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．第25题图图1EDCBA图2CBAF图3ED CBA在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ， 将线段AD 绕点A 逆时针旋转90 º得到AE ，连结EC ．（1）如果AB =AC ，∠BAC =90º．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图1，请你判断线段CE 、BD 之间的位置和数量关系（直接写出结论）；②当点D 在线段BC 的延长线上时，请你在图2画出图形，判断①中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（2）如图3，当点D 在线段BC 上运动时，DF ⊥AD 交线段CE 于点F ，且∠ACB =45 º ， AC＝CF长的最大值．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ． 如图甲，当AC=BC ，且CE=EA 时，则有EF=EG ；（1）如图乙①，当AC=2BC ，且CE=EA 时，则线段EF 与EG 的数量关系是：EF EG ；（2）如图乙②，当AC=2BC ，且CE=2EA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论；（3）当AC=mBC ，且CE=nEA 时，请探究线段EF 与EG 的数量关系，直接写出你的结论（不必证明图乙②图乙①图甲（第25题）已知正方形ABCD ，边长为3，对角线AC ，BD 交点O ,直角MPN 绕顶点P 旋转，角的两边分别与线段AB ,AD 交于点M ，N （不与点B ，A ，D 重合）． 设DN =x ，四边形AMPN 的面积为y ．在下面情况下，y 随x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积y 的值；若变化，请求出y 与x 的关系式． （1）如图1，点P 与点O 重合；（2）如图2，点P 在正方形的对角线AC 上，且AP =2PC ； （3）如图3，点P 在正方形的对角线BD 上，且DP =2PB ．25．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =12. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点. （1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF ，则k = ；（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．图1（P ）N DM OC B A 图2PA B C O MD N 图3P A B C OM D N B CADE FB DEA FCBAC1图2图备图东城24. 等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . （1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状；（2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长.图1 图2 图3已知：如图，正方形ABCD 中，,AC BD 为对角线，将BAC ∠绕顶点A 逆时针旋转α°（045α<<），旋转后角的两边分别交BD 于点P 、点Q ，交,BC CD 于点E 、点F ，联结,EF EQ ．（1）在BAC ∠的旋转过程中，AEQ ∠的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（2）探究△APQ 与△AEF 的面积的数量关系，写出结论并加以证明．QP FEDC BA24． 解：（1）不变； ……………………………………………………………………1分45°；………………………………………………………………………2分（2）结论：S △AEF =2 S △APQ ………………………………………………………………3分 证明：∵AEQ ∠=45°，45EAF ∠=︒∴90EQA ∠=︒ …………………… ∴2AE AQ =…………………… ………4分同理2AF AP = …………………… ………5分 过点P 作PH AF ⊥于H …………… ………6分∴S △AEF 11222AF EQ AP AQ =⋅=⨯⋅222AP AQ PH AQ S =⋅=⋅=△APQ …………………………………7分 HQ P FE DC B A图1O E D CB A R Q P 图2O E D C B A22. 如图，在AOB 中，8OA OB ==，90AOB ∠=︒，矩形CDEF 的顶点C 、D 、E 、F 分别在边AO 、OB 、AB上。

（1）若C 、D 恰好是边AO ，OB 的中点，求矩形CDEF 的面积； （2）若4tan 3CDO =，求矩形CDEF 面积的最大值。

24. 如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝5，AC =6. △ECD 是△ABC 沿CB 方向平移得到的，连结AE ，AC 和BE 相交于点O .（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，并证明你的结论； （2）如图2，P 是线段BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR ⊥BD ，垂足为点R .①四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积；②当线段BP 的长为何值时，以点P 、Q 、R 为顶点的三角形与△BOC 相似？23． 如图，在△ABC 中，BC =3，AC =2，P 为BC 边上一个动点，过点P 作PD ∥AB ，交AC 于点D ，连结BD ． （1）如图1，若∠C =45°，请直接写出：当BPPC= 时， △BDP 的面积最大；（2）如图2，若∠C =α为任意锐角，则当点P 在BC 上何处时， △BDP 的面积最大？ABCDP ABCD24．现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sin α = m ，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m 来表示α，记作：α=arc sin m ；若cos α = m ，则记α = arc cos m ；若tan α = m ，则记α = arc tan m ．解决问题：如图，已知正方形ABCD ，点E 是边AB 上一动点，点F 在AB 边或其延长线上，点G 在边AD 上．连结ED ，FG ，交点为H ．（1）如图1，若AE =BF =GD ，请直接写出∠EHF = °； （2）如图2，若EF =25CD ，GD =25AE ，设∠EHF =α．请判断当点E 在AB 上运动时， ∠EHF 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α．24．已知在△ABC 和△DBE 中，AB ＝AC ，DB ＝DE ，且∠BAC ＝∠BDE ．（1）如图1，若∠BAC ＝∠BDE ＝60°，则线段CE 与AD 之间的数量关系是 ；（2）如图2，若∠BAC ＝∠BDE ＝120°，且点D 在线段AB 上，则线段CE 与AD 之 间的数量关系是__________________；（3）如图3，若∠BAC ＝∠BDE ＝α，请你探究线段CE 与AD 之间的数量关系（用含α的式子表示），并证明你的结论．图1H FG ED CB A 图2A BCD EG FH A DB图1BACDE图3E BAC D图2.已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.图1 图2(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时ADBC=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算ADBC的值（用含α的式子表示）；(3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.．如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan =B .（1）求证：AD =AE ；（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .求证：AF EF DF 2=-；（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.图1EBCAD 图3EB CA D图2ECB AD FP如图10-1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①请直接写出图10-1中线段BG 、线段DE 的数量关系及所在直线的位置关系；②将图10-1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图10-2、如图10-3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图10-2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图10-4～10-6），且kb CG ka CE b BC a AB ====,,, )0,( k b a ≠ ，试判断（1）①中得到的结论哪个成立，哪个不成立？并写出你的判断，不必证明. （3）在图10-5中，连结DG 、BE ，且21,2,4===k b a ，则22BE DG += ．(1)已知：如图1，△ABC 中，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作正方形ABGE 和ACHF ，直线AN ⊥BC 于N ，若EP AN ⊥于P ，FQ AN ⊥于Q . 判断线段EP FQ 、的数量关系，并证明；(2)如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC , 分别以两腰AB 、CD 为一边向梯形ABCD 外作正方形ABGE 和DCHF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若EP MN ⊥于P ，FQ MN ⊥于Q ．(1)中结论还成立吗？请说明理由.图2FF图1HN Q GHMPEPQGEDC BA N CBA已知：如图，在Rt ACB △中，90C ∠=，4cm AC =，3cm BC =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为(s)t （02t <<），解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ∥？ （2）设AQP △的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把 Rt ACB △的周长和面积同时平分？若存在，求出 此时t 的值；若不存在，说明理由；。