2020年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。

每小题2分，共20分）1．（2分）﹣2020的倒数是（）A．2020B．±12020C．﹣12020D．120202．（2分）2020年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有2万名以上的医护人员在短时间就集结完毕，他们是我们心中的“最美逆行者”!其中数据2万用科学记数法表示为（）A．2×103B．2×104C．0.2×105D．20×1033．（2分）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（2分）“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2分）不等式组23451020aa+>⎧⎨+<⎩的解集为（）A．B．C．D．6．（2分）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝78°，则∠2的度数是（）A．51°B．56°C．61°D．78°7．（2分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A．2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2114322x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩D．264327x yx y+=⎧⎨+=⎩8．（2分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表：每天使用零花钱（单位：元）02345人数14532关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（）A．中位数是3元B．众数是5元C．平均数是2.5元D．方差是49．（2分）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是32，那么sinα的值为（）A．12B．23C．34D．4510．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（）A．18°B．37°C．54°D．58°二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：9ax2﹣ay2＝．12．（3分）若一个圆内接正六边形的边长是4cm，则这个正六边形的边心距＝．13．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1＝0没有实数根，则k的取值范围是．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数3yx的图象上，则菱形的面积为．15．（3分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是元．16．（3分）如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均落在格点上，点E是AB的中点，过点E作EF∥AD，交BC于点F，作AG⊥EF，交FE延长线于点G，则线段EG的长度是．三、解答题（第17小题6分，18、19小题各8分，共22分）17．（62|﹣2×cos30°+（12）﹣1．18．（8分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上则重转）．方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品．（1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是；（2）选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理由．19．（8分）我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完整的统计图，请你结合图表所给信息解答下列问题：（1）请在答题卡上直接将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是°；（3）若我校九年级共有1500名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE的长度是．21．（8分）如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C，小明发现景区C恰好在A地的正北方向，求A，C两地相距多少千米？（结果保留根号）五、（本题10分）22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cos∠DAB＝34，BE＝1，则线段AD的长是．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．（1）当t的值为时，四边形DEOF是矩形；（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；（3）当△OEF面积为132时，请直接写出直线DE的解析式．七、（本题12分）24．（12分）思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度八、（本题12分)25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+与x轴分别交于点A（﹣1，0），2B（3，0），点C是顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，线段DE是射线AC上的一条动线段（点D在点E的下方），且DE＝2，点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以DE为一边在AC上方作等腰Rt△DEF，其中∠EDF＝90°，设运动时间为t秒．①点D的坐标是（用含t的代数式表示）；②当直线BC与△DEF有交点时，请求出t的取值范围；（3）如图2，点P是△ABC内一动点，BP＝52，点M，N分别是AB，BC边上的两个动点，当△PMN的周长最小时，请直接写出四边形PNBM面积的最大值．2020年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。

每小题2分，共20分）1．（2分）﹣2020的倒数是（）A．2020B．±12020C．﹣12020D．12020【解答】解：﹣2020的倒数是1 2020．故选：C．2．（2分）2020年初全球处于新型冠状病毒引起的巨变之中，中国有2万名以上的医护人员在短时间就集结完毕，他们是我们心中的“最美逆行者”!其中数据2万用科学记数法表示为（）A．2×103B．2×104C．0.2×105D．20×103【解答】解：将数据“2万”用科学记数法表示为2×104，故选：B．3．（2分）如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上边看第一列是两个小正方形，第二列上层是一个小正方形，第三列上层是一个小正方形，故选：D．4．（2分）“2019武汉军运会”部分体育项目的示意图中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；故选：C．5．（2分）不等式组23451020aa+>⎧⎨+<⎩的解集为（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式2a+3＞4，得：a12 >，解不等式5a+10＜20，得：a＜2，则不等式组的解集为12＜a＜2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：C．6．（2分）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝78°，则∠2的度数是（）A．51°B．56°C．61°D．78°【解答】解：如图，根据翻折可知：∠2＝∠4，根据矩形纸片的对边平行，得∠1＝∠3＝78°，∴∠2＝12（180°﹣78°）＝51°．故选：A．7．（2分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（）A．2114327x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2114322x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3219423x yx y+=⎧⎨+=⎩D．264327x yx y+=⎧⎨+=⎩【解答】解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为211 4327 x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．8．（2分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了15名同学，结果如表：每天使用零花钱（单位：元）02345人数14532关于这15名同学每天使用零花钱的情况，下列说法正确的是（）A．中位数是3元B．众数是5元C．平均数是2.5元D．方差是4【解答】解：∵一共有15人，∴中位数为第8人所花钱数，∴中位数为3元，故A正确；∵每天使用3元零花钱的有5人，最多，∴众数为3元，故B错误；平均数为：0124354352315⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C错误；方差为：115×[1×（0﹣3）2+4×（2﹣3）2+5×（3﹣3）2+3×（4﹣3）2+2×（5﹣3）2]＝1.6，故D错误．故选：A．9．（2分）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是32，那么sinα的值为（）A．12B．23C．34D．45【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝32，∴AD＝CD＝32，∴sinα＝AFAD＝23，故选：B．10．（2分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（）A．18°B．37°C．54°D．58°【解答】解：由图象可得，该函数的对称轴x>18542+且x ＜54， ∴36＜x ＜54， 故选：B ．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）分解因式：9ax 2﹣ay 2＝ a （3x +y ）（3x ﹣y ） ． 【解答】解：原式＝a （9x 2﹣y 2）＝a （3x +y ）（3x ﹣y ）， 故答案为：a （3x +y ）（3x ﹣y ）12．（3分）若一个圆内接正六边形的边长是4cm 【解答】解：如图所示，AB ＝4cm ，过O 作OG ⊥AB 于G ； ∵此多边形是正六边形，∴∠AOB ＝°3606＝60°，∠AOG ＝°602＝30°，∴OG ＝tan AOGAG∠＝2．13．（3分）关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0没有实数根，则k 的取值范围是 k ＞2 ． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0没有实数根， ∴△＜0，即（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＜0， 解得k ＞2， 故答案为：k ＞2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，菱形OABC 的对角线OB 在x 轴上，顶点A 在反比例函数3y x=的图象上，则菱形的面积为 6 ．【解答】解：如图，连接AC交OB于D．∵四边形OABC是菱形，∴AC⊥OB．∵点A在反比例函数3yx=的图象上，∴△AOD的面积＝12×3＝32，∴菱形OABC的面积＝4×△AOD的面积＝6．故答案为6．15．（3分）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用4000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，该服装商又用9000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了5元．则该服装商第一批进货的单价是40元．【解答】解：设第一批进货的单价为x元/件，由题意2×4000x＝90005x+，解得x＝40，经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，答：第一次进货单价为40元/件，故答案为：40．16．（3分）如图，在网格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均落在格点上，点E是AB的中点，过点E作EF∥AD，交BC于点F，作AG⊥EF，交FE延长线于点G，则线段EG的长度是．【解答】解：如图，作DJ⊥AB于J．在Rt△ACB中，∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴AB＝5，∵S△ABD＝12×3×3＝12×AB×DJ，∴DJ＝95，∵AD∴AJ 135，∵AG⊥EG，∴∠G＝∠AJD＝90°，∵AD∥EG，∴∠DAJ＝∠AEG，∴△AJD∽△EGA，∴EG AE AJ AD=，∴EG＝20，三、解答题（第17小题6分，18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：12+|3﹣2|﹣2×cos30°+（）﹣1．【解答】解：原式＝23+2﹣﹣2×32+2＝+2+2＝4．18．（8分）某商场开业，为了活跃气氛，用红、黄、蓝三色均分的转盘设计了两种抽奖方案，凡来商场消费的顾客都可以选择一种抽奖方案进行抽奖（若指针恰好停在分割线上则重转）．方案一：转动转盘一次，指针落在红色区域可领取一份奖品；方案二：转动转盘两次，指针落在不同颜色区域可领取一份奖品．（1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是13；（2）选择哪个方案可以使领取一份奖品的可能性更大？请用列表法或画树状图法说明理由．【解答】解：（1）若选择方案一，则可领取一份奖品的概率是13，故答案为：13；（2）方案二中出现的可能性如下表所示：共有9种不同的情况，其中指针落在不同颜色区域的有6种结果，∴可领取一份奖品的概率为69＝23，∵13＜23，∴方案二获得奖品的可能更大．19．（8分）我校为了了解九年级学生身体素质测试情况，随机抽取了本校九年级部分学生的身体素质测试成绩为样本，按A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如图不完整的统计图，请你结合图表所给信息解答下列问题：（1）请在答题卡上直接将条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是144°；（3）若我校九年级共有1500名学生参加了身体素质测试，试估计测试成绩合格以上（含合格）的人数．【解答】解：（1）A所占的百分比是1﹣40%﹣30%﹣10%＝20%，抽取的总人数是：4040%＝100（人），A的人数有100×20%＝20（人），补图如下：（2）扇形统计图中“B”部分所对应的圆心角的度数是360°×40%＝144°；故答案为：144；（3）根据题意得：1500×（1﹣10%）＝1350（人），答：测试成绩合格以上（含合格）的人数为1350人．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝12，AD＝13，则线段OE【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝12，AD＝13，∴AB＝13，∴BE＝5，∵AB＝BC＝13，∴CE＝18，∴AC＝∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝∴OE＝故答案为：21．（8分）如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶6千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达景区C ，小明发现景区C 恰好在A 地的正北方向，求A ，C 两地相距多少千米？（结果保留根号）【解答】解：过B 作BD ⊥AC 于点D ．在Rt △ABD 中，AD ＝AB •cos ∠BAD ＝6×12＝3（千米），BD ＝AB •sin ∠BAD ＝6×2＝，∵在△BCD 中，∠CBD ＝45°， ∴△BCD 是等腰直角三角形，∴CD ＝BD ＝，∴AC ＝AD +CD ＝（）（千米）．答：A ，C 两地的距离是（五、（本题10分）22．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．（1）求证：AF⊥EF；（2）若cos∠DAB＝34，BE＝1，则线段AD的长是92．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵CD＝BD，∴＝，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠2＝∠OCA，∴∠1＝∠OCA，∴OC∥AF，∵EF为切线，∴OC⊥EF，∴AF⊥EF；（2）解：∵OC∥AF，∴∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，∵cos∠COE＝cos∠DAB＝34OCOE=，即314rr=+，解得r＝3，连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，cos∠DAB＝34 ADAB，∴AD＝34×6＝92，故答案为：92．六、（本题10分）23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC边OA，OC分别在x轴，y的正半轴上，且OA＝8，OC＝6，连接AC，点D为AC中点，点E从点C出发以每秒1个单位长度运动到点O停止，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接DE，作DF⊥DE交OA于点F，连接EF．（1）当t的值为3时，四边形DEOF是矩形；（2）用含t的代数式表示线段OF的长度，并说明理由；（3）当△OEF面积为132时，请直接写出直线DE的解析式．【解答】解：（1）当DE⊥OC时，四边形DEOF是矩形；∵DE⊥OC，∴DE∥OA，∵点D为AC中点，∴CD＝AD，∴CE＝OE＝12OC＝3，∴t＝3，∴当t的值为3s时，四边形DEOF是矩形，故答案为：3；（2）如图所示：作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥OC，∴四边形DMON是矩形，∴∠MDN＝90°，DM∥OC，DN∥OA，∴CD CNAD ON=，AD AMCD OM=，∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM＝12OC＝3，DN＝12OA＝4，∵∠EDF＝90°，∴∠FDM＝∠EDN，又∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF∽△DNE，∴34 FM DMEN DN==，∴FM＝34 EN，∵CN＝12OC＝3，CE＝t，∴EN＝3﹣t，或EN＝t﹣3，∴FM＝34EN＝94﹣34t，或FM＝34EN＝34t﹣94，∴OF＝4﹣FM＝74+34t或254﹣34t；（3）∵OA＝8，OC＝6，∴A（8，0），C（0，6），∵点D为AC中点，∴D（4，3），∵CE＝t，∴OE＝6﹣t，∵OF＝74+34t，∴△OEF面积＝12OE•OF＝12（6﹣t）（74+34t）＝132，解得：t＝2或53，当t＝2时，点E（0，4），∴直线DE的解析式为y＝﹣14x+4；当t＝53时，点E（0，133），∴直线DE的解析式为y＝﹣13x+133，综上所述，直线DE的解析式为y＝﹣14x+4或y＝﹣13x+133．七、（本题12分）24．（12分）思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是8；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度【解答】解：思维探索：（1）如图1，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴GB ＝DF ，AF ＝AG ，∠BAG ＝∠DAF ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD ＝90°，∵∠EAF ＝45°，∴∠BAE +∠DAF ＝45°，∴∠BAG +∠BAE ＝45°＝∠EAF ，在△AGE 和△AFE 中GAE=EAF AG AF AE AE =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∴△AGE ≌△AFE （SAS ），∴GE ＝EF ，∵GE ＝GB +BE ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ，∴△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +BE +DF +CF ＝BC +CD ＝8，故答案为：8；（2）如图2，把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到AD ，交CD 于点G ，同（1）可证得△AEF ≌△AGF ，∴EF ＝GF ，且DG ＝BE ，∴EF ＝DF ﹣DG ＝DF ﹣BE ，∴△CEF 的周长＝CE +CF +EF ＝CE +CF +DF ﹣BE ＝BC +DF +CF ＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠F AG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝23，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝23﹣x，∴DG＝2+23﹣x，∴DG﹣FG＝DF，即2+23﹣x﹣x＝4，∴x＝3﹣1，∴CE＝3﹣1．八、（本题12分)25．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C是顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，线段DE是射线AC上的一条动线段（点D在点E的下方），且DE＝2，点D从点A出发沿着射线AC的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以DE为一边在AC上方作等腰Rt△DEF，其中∠EDF＝90°，设运动时间为t秒．①点D t的代数式表示）；②当直线BC与△DEF有交点时，请求出t的取值范围；（3）如图2，点P是△ABC内一动点，BP＝52，点M，N分别是AB，BC边上的两个动点，当△PMN的周长最小时，请直接写出四边形PNBM面积的最大值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴332339302a ba b⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴323ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣32x2+3x+332；（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣32x2+3x+332＝﹣32（x﹣1）2+23，∴点C（1，23），∵A（﹣1，0），∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，AC＝4，BC＝4，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，①过点D作DQ⊥AB于Q，由运动知，AD＝2t，∴AQ＝t，∴DQ＝3t，∴D（t﹣1，3t），故答案为：（t﹣1，3t）；②过点F作AB的垂线，交过点D平行于AB的直线于G，∴∠FDG＝60°，∵∠ADF＝90°，∴∠FDG ＝30°，∴FG ＝12DF ＝12DE ＝1，DG∴F （t ﹣1t +1），E （t ﹣1+1），即F （t ﹣1t +1），E （t ，∵点B （3，0），C （1，），∴直线BC 的解析式为y x当点E 在直线BC ，∴t ＝1，当点F 在直线BC t ﹣1）+1，∴t ＝，即当直线BC 与△DEF 有交点时，t 的取值范围为1≤t ≤2+3； （3）如图2，作点P 关于AB 的对称点F ，作点P 关于BC 的对称点E ，连接EF ，交AB 于M ，交BC 于N ，连接PM ，PN ，则△PMN 的周长最小为PM +PN +MN ＝FM +EN +MN ＝EF ，由对称性知，BE ＝BF ＝BP ＝52，∠EBN ＝∠PBN ，∠FBM ＝∠PBM ， ∴∠EBN ＝∠EBN +∠PBN +∠FBM +∠PBM ＝2（∠PBN +∠PBM ）＝2∠ABC ＝120°， ∴∠BFE ＝30°，过点B 作BH ⊥EF 于H ，则EF ＝2FH ，在Rt △BHM 中，BH ＝12BF ＝54，FH ，∴EF ＝2FH ，∴S △BEF ＝12EF •BH ＝16，∵S 四边形PNBM ＝12（S △BEF +S △PMN ）＝12（16+S △PMN ）， 要使四边形PNBM 的面积最大，则△PMN 的面积最大，即△BMN 的的面积最小，只有BP ⊥EF 时，△BMN 的面积最小，此时，MN ＝2，PH ＝BP ﹣BH ＝52﹣54＝54，∴S △PMN 最大＝12MN •PH ＝48，即S 四边形PNBM 最大＝12（S △BEF +S △PMN ）＝12，∴当△PMN 的周长最小时，四边形PNBM ．。