利用几何画板探究静摩擦力提供向心力时的方向
作者：戚广春
工作单位：枣庄八中北校
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匀速圆周运动的向心力完全由静摩擦力提供时，静摩擦力的方向指向圆心，高一学生对这一点非常难以理解。

本文借助几何画板和相关的物理、数学知识对此做深入的探究，探究过程用于课堂教学，直观易懂。

如图1，圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动，显然向心力就是静摩擦力。

要证明静摩擦力方向指向圆心，只需要证明小物体相对转盘沿所在半径有向外运动的趋势。

弄清小物体相对转盘运动趋势方向，必须明确以下两个问题：
第一，研究小物体相对运动趋势方向，参考系是什么？
显而易见，是转盘！
第二，小物体相对转盘运动趋势方向是某时刻的还是有限时间内的？
因为向心加速度是瞬时的，某时刻的向心加速度是那一时刻的向心力产生的，因此小物体相对转盘运动趋势方向是瞬时的。

基于以上两点，小物体相对转盘沿所在半径有向外运动的趋势证明如下：
打开几何画板4.07窗口，画出图1的俯视图，如图2。

图2
大圆面表示转盘，旋转方向逆时针，角速度为ω。

转盘半径OE某时刻转到图示位置，小物体位于该半径的点A，距圆心为r，其运动的圆周为小圆。

假设这一时刻起盘面光滑，则小物体相对地面沿小圆的切线AF飞出做匀速直线运动，飞出速度为点A的线速度。

设经过时间t，大圆半径OE旋转到OP位置，转过的角度为θ，OP与切线AF交于点M，并与小圆交于点B。

可知小物体沿切线飞出时的出发点旋转到点B时，出发点转过⌒AB。

另一方面，同一时间内，小物体沿切线匀速直线运动发生位移，位移大小等于⌒AB长度。

只要证明线段AM长度等于小物体沿切线匀速直线运动的位移，即
AM=⌒AB，
则有向线段BM就是小物体在t时间内相对转盘的位移，此位移沿着小物体飞出时刻所在半径上，并且方向向外。

那么二者真的相等吗？
利用画板的度量工具，度量线段AM和⌒AB长度，图中显示的数据是某次的测量值，明
显看出二者并不相等，
问题何在？原因在于上述讨论中，小物体的运动时间是一个有限的时间段，而我们要的是当t→0时看二者是否相等！
当t→0时，点B趋近于点A。

我们用鼠标左键点击点P，拖动点P，然后沿大圆周向点E移动，可以看到线段AM与⌒AB长度比值趋近于1。

这就证明了小物体在转盘上有沿着所在半径向外运动的趋势，因此此刻静摩擦力方向沿半径指向圆心。

下面从数学角度进一步分析：
由图2可知
AM=rtanθ=rtanωt
又⌒AB=rθ=rωt
当t→0，ωt→0，此时tanωt可以用ωt替代，因此AM= rωt，故AM=⌒AB，于是问题得证。