2020届高考模拟试题（含答案）石油中学 巨泳说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.若复数2(R,12a ia i i-∈+为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A.4B. －4C.1D. －1 2．已知集合M=｛x ︱x=y 2｝,N=｛x ︱x 2-x-2>0｝，U=R,则N C M U ⋂=（ ）A ．｛x ︱0<X ≤2｝B ．｛x ︱0≤X<2｝C ．｛x ︱0≤X ≤2｝D ．｛x ︱0<X<2｝3．用0．1．2．3．4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中奇数的个数是（ ） A ． 18 B ． 24 C ．36 D ． 484．已知椭圆C ．：12222=+by a x 以抛物线x y 162=的焦点为焦点，且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆C 的离心率为（ ） A ．21B ．23 C ． 33 D ． 43 5． 已知正项等差数列｛n a ｝,满足 )1(1+=+n n a a n n ,则｛aa n n11+｝的前n 项和为（ ） A ．111+-n B ．)1(1+n n C ． 11+nD ．nn 1- 6．已知在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。

在空间中可以类比得出以下一组命题：①在空间中，垂直于同一直线的两条直线平行 ②在空间中，垂直于同一直线的两个平面平行 ③在空间中，垂直于同一平面的两条直线平行 ④在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行 其中，正确的结论的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ． 47.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0),||1==a b ，则|2|+a b 等于（ ）AB ．C ．4D ．128．设函数x x x f sin )(=，]2,2[ππ-∈x ，若)()(21x f x f >，则下列不等式必定成立的（ ） A ．21x x <B ．21x x >C ．2221x x <D ．2221x x >9.一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（ ）A ．89B ．910C ．1011D ．111210．设函数na x x f )()(+=，其中⎰=20cos 6πxdx n ，3)0()0(-='f f ，则)(x f 的展开式中4x 的系数为（ ） A ．-360 B ．360 C ．-60 D ．60第II 卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

其中第15题为选做题，考生可从A 、B 、C 中任选一道题作答；若多做，则按第一道题评阅给分）11．在样本的频率分布直方图中，共有n 个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于另外1n -个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间这一组的频数为12．如图，为一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为13．当实数x 满足约束条件020x y xx y k >⎧⎪≥⎨++≤⎪⎩（其中k 为小于零的常数）时，x y 1+的最小值为2，则实数k 的值是 ; 14．下列一组命题：①在区间[]0,1内任取两个实数,x y ，求事件“221x y +>恒成立”②从200个元素中抽取20个样本，若采用系统抽样的方法则应分为10组，每组抽取2个③函数)(x f 关于（3,0）点对称，满足)6()6(x f x f -=+，且当[]3,0∈x 时函数为增函数，则)(x f 在[]9,6上为减函数。

④命题“对任意R a ∈,方程012=-+ax x 有实数解”的否定形式为“存在R a ∈，方程012=-+ax x 无实数解” 以上命题中正确的是 15．A ．（参数方程与极坐标）直线2)3cos(=-πθρ与直线4)3sin(=-πθρ的夹角大小为B ．（不等式选讲）要使关于x 的不等式31≤-+-a x x 在实数 范围内有解，则A 的取值范围是C ．（几何证明选讲） 如图所示，在圆O 中，AB 是圆O 径AB =8,E 为OB ．的中点，CD 过点E 且垂直于AB,EF ⊥AC,则 CF •CA=三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．（12分）设正数组成的数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且21=a ， 143=S（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n a a a T ⋅⋅⋅⋅=21，其中*N n ∈； 求n T 的值,并求n T 的最小值．17．（12分）在ABC ∆中，三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,（a c >）,A C A C sin sin cos cos -= ，31sin =B （1）求A sin 的值，（2）若边长6=b ，求ABC ∆的面积18．（12分）如图，在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别为AD 、CD 、1BB 、11C D 的中点．（1）求点P 到平面MNQ 的距离； （2）求直线PN 与平面MPQ 所成角的正弦值．19．（12分）某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．活动次数 1 2 3 参加人数51520(1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率;(2)从“青志队”中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．20．（13分）已知函数c bx x a x x f ++⋅+=23)(的图像上的一点()m M ,1处的切线的OB方程为2=y ，其中R c b a ∈,,（1）若3-=a ①求)(x f 的解析式，并表示成k t k t x x f ,(,)()(3++=为常数）②求证)(x f 的图像关于点M 对称；（2）问函数y =f （x ） 是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a 表示），若不存在，请说明理由。

21．（14分）如图，在等边ABC ∆中，O 为边长AB 的中点，4=AB ，E D ,为ABC∆的高OC 上的点，且→→=OD OC 32，→→=OE OC 3；若以B A ,为焦点，O 为中心的椭圆过D 点，建立恰当的直角坐标系，记椭圆为M （1）求椭圆M 的轨迹方程；（2）过点E 的直线l 与椭圆M 交于不同的两点Q P ,，点P 在点Q E ,之间，且→→=EQ EP λ，求实数λ的取值范围。

参考答案11．32 12．24+58+28 13．-3 14．①③④ 15．A ．2πB ．[-2,4]C ．12 16．（12分）解：（1）令等比数列{}n a 公比是q ，当1=q 时，146313≠==a S ∴1≠q()0614112233=-+⇒=--=q q qq S 2=q 或3-=q （舍）所以n n n a 2221=⋅=- （2）()213212122++⋅⋅⋅+++==⋅⋅⋅⋅=n n n n n a a a T当1=n 时，n T 取得最小值217．（12分）解：（1）0)cos(sin sin cos cos =-⇒-=A C A C A C,A C a c >⇔> ,2π+=∴A C则()[]()312cos 3122sin sin sin sin =⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+-=A A C A C A B ππ31sin 31sin 212cos 22=⇒=-=A A A 因为33sin )2,0(=⇒∈A A π （2）23sin sin sin sin ==⇔=BAb a B b A a23sin 2136cos 2sin sin ==⇒==⎪⎭⎫⎝⎛+=∴∆C ab S A A C ABC π18．（12分）解：（1）方法1（几何法）：∵1BB 平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离等于点B 到平面MNQ 的距离．设BD MN E =．∵平面MNQ ⊥平面ABCD ，∴由BE MN ⊥得BE ⊥平面MNQ ，∴点P 到平面MNQ 的距离为33244BE BD a ==． （2）设点N 到平面MNQ 的距离为d ．可以求得6MP PQ QM ===， ∴223633()428MPQ S a ∆==．21224MNQ S MN NQ ∆=⋅=． 由N MPQ P MNQ V V --=得1132334MPQ MNQ S d S a ∆∆⋅=⋅，∴33d a =． 设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则2sin 3d PN θ==．故直线PN 与平面MPQ 所成的角的正弦值为2． 方法2（空间向量方法） 建立如图所示的空间直角坐标系． （1）(,,)(0,0,)(,,0)DB a a a a a a =-=是平面MNQ 的一个法向量．∵(,,)(0,,0)(,,)2222a a a aQP a a a =-=，∴点P 到平面MNQ 的距离3||24||QP DB d a DB ⋅==． （2）设平面MPQ的一个法向量为(,,1)x y =n ．(,0,)(,,)(,,)2222a a a a PM a a a a =-=--．由0,0PM QP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,220,22aa x ay a a ax y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩得1,1,x y =-⎧⎨=⎩ ∴(1,1,1)=-n ．(0,,)(,,)(,,)2222a a a a PN a a a a =-=--．2cos ,3PN <>=n ．设直线PN 与平面MPQ 所成的角为θ，则 2sin cos()|cos ,|23PN πθθ=-=<>=n ．19．（12分）解： (1)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为111515203401C C C P C =-419494=(2)由题意知0,1,2ξ=22251520024061156C C C P C ++== 11115151520124075156C C C C P C +==115202240539C C P C ==ξ的分布列：ξ的数学期望:6175511501215615639156E ξ=⨯+⨯+⨯=20．（13分）解()()023123/2/=++=⇒+⋅+=b a f b x a x x f由()2112=+++=⇒=c b a f m（1）①,1,33==⇒-=c b a ()21133)(323+-=++-=x x x x x f②()2,1M ，在()x f y =的图像任取一点()00,y x p ，p 关于()2,1M 的对称点为()004,2y x Q -- ()()()0203004212122y x x x f -=+--=+--=-由点p 的任意性，命题得证．（2）()b x a x x f +⋅+=232/由（１）知32--=a b所以()()()131232232/-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-⋅+=x a x b a x a x x f令()1,3320/=+-=⇒=x ax x f 当31332-=⇔=+-a a 即()()0132/≥-=x x f()x f 为R 上为增函数，所以函数没有单调减取间；当31332-<⇔>+-a a 时，可以判定()x f 单调减取间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-332,1a当31332->⇔<+-a a 时，可以判定()x f 单调减取间为⎪⎭⎫⎝⎛+-1,332a 21．（14分）解：建立如图所示的直角坐标系，由于→→=OD OC 32，→→=OE OC 3,1321==→→OC OD 231==→→OC OE ()()2,0,1,0E D ∴设椭圆方程为()0,12222>>=+b a by a x1,242==⇒=∴b c c 5=a 即椭圆方程为;1522=+y x设),(11y x p ),(22y x Q)2,0(E ，即()()2,2,2221-=-=→y x Q E y x EP→→=EQ EP λ ⎩⎨⎧⎩⎨⎧+-==⇒-=-=∴22)2(221212221λλλλλy y x x y y x x ①又PQ 都在圆上⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴151522222211y x y x ② 由①②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-+∴151)22(5)(22222222y x x y x λλ 消去2x 得λλλλλλ4351)22(2222222-=⇒-=-+-y y y 112≤≤-y 331≤≤∴λ又P 在Q E ,之间，是10,<<∴=→→λλEQ EPλ∴范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,31。