在(2,1)内至少存在一点1,使f (1) 0； 在(1,1)内至少存在一点2,使f(2)0； 在(1,3)内至少存在一点3,使f(3)0.
即 1、2、3是f(x)0的三个实根.
又 f(x)0为 三 次 方 程 它 最 多 只 有 三 个 实 根 这 三 个 实 根 ， 它 们
分 别 在 区 间 (-2， -1),(-1， 1),(1， 3)内 .
(xf (x)) 0;若令F (x) xf (x)
注：本例中，应用定理的关键是主动找区间。
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微积分（一） calculus
例3 设f (x)在[a,b](0ab)上连续，在(a,b)
内可导，且f(a)b, f(b)a,证明在(a,b)内至
少存在一点，使得f()f().
分析 f (x) f (x) xf (x) f (x) 0 x
f (x)在闭区间[-2，-1]， [-1， 1]， [1，3]上连续， f (x)在开区间(-2，-1)，(-1， 1)，(1， 3)上可导;
且f (2) f (1) f (1) f (3) 0, f (x)在[-2，-1]， [-1， 1]， [1， 3]上均满足RTh条件.
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下面我们逐一介绍微分中值定理。
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1、罗尔 ( Rolle ) 定理(R-Th)
1) 在闭区间 [a , b] 上连续; 若函数 f ( x) 满足： 2) 在开区间 (a,b) 内可导;
3) f(a)f(b),
则在 (a,b) 内至少 有一点 (ab),使f()0.
中值定理揭示了函数在某区间上的整体性 质与该区间内某一点导数之间的关系。
中值定理既是利用微分学解决应用问题的 模型，又是解决微分学自身发展的理论基石。
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二、微分中值定理The Mean Value Theorem
在微分中值定理的三个定理中，拉格 朗日(Lagrange)中值定理是核心定理，罗 尔中值定理是它的特例，柯西中值定理 是它的推广。
若函数不满足条件组，则不一定有罗尔定
理的结论。
例 如 , y x 3 在 [ 1，1 ] 端点的函数值不相
y
y x3
等 ， 即 f ( 1) f (1),
x
但 存 在 =0,使 得
1
0
1
f (0 ) 0 .
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再如,
x2 f(x)
-1x1 在右端点不连续,
y
y f(x)
A
B
o a
x b
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几何意义:
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在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,
若除端点外处处有不垂直于x轴的切线,则此曲线
弧上至少有一点处的切线是水平的.或者说切线
与端点的连线AB平行.
y
y f(x)
A
B
o a 精品课件
x b
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若满足,求出定理中使f()0的.
解 f (x) 2x3 5x2 2x 5 f (x) 6x2 10x 2都是多项式；
f (x)在[1,1]上连续,在(1,1)内可导 且f (1) f (1) 0.
f (x)满足Rolle定理的三个条件.
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微积分（一） calculus
而 f ( ) 6 2 10 2 0 (1 1) 得 1 5 6 37 (1,1)，
一、引言 二、微分中值定理
1、罗尔(Rolle)定理 2、拉格朗日(Lagrange)定理 3、柯西(Cauchy)定理 三 、小结
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一、引言(Introduction)
导数刻划函数在一点处的变化率，它反映 函数在一点处的局部变化性态；但在理论研究 和实际应用中，还需要把握函数在某区间上的 整体变化性态。
题型1：验证定理的正确性。定理结论中的客观存
在，且可能不唯一，但未给出其具体位置。令导数
为零，求解方程的根，可确定其具体位置。
题型2：找区间(比较复杂)；
题型3：找函数(由结论入手，求解微分方程)
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例1设f(x)2x35x22x5,x[1,1], 验证f(x)是否满足Rolle定理的条件？
不妨设 M 在 (a,b) 内点 处取得,
o a
x b
即 f( )M f (a) f( x)f()
f(x)f() 0,
x
0,
所以, f()0. 证毕.
x 0 x 0
f ( ) f ( )
0 0
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注意：罗尔定理的条件组是结论成立的充分条
件，任一条都不是必要条件。
证明 f ( x ) C [ a , b ] m a x ( m i n ) f ( x ) M ( m ) [ a , b ]
1) 若 Mm, 即 f ( x) 恒为常数,
y
f(x)0,可取(a, b)内任一点作为 ; 2) 若 Mm, 由 f(a)f(b)知,
A
y f(x)
B
M , m 至少有一个要在 (a,b) 内取得.
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第四章 中值定理及导数的应用
§4.1 微分中值定理 §4.2洛必达法则 §4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值 §4.4函数曲线的凹向及拐点 §4.5曲线的渐近线与函数作图
§4.6导数在经济学中的应ulus
§4.1 微分中值定理
0 x1
但 存 在 0 ,使 得 f(0 ) 0
y
1
1
o
·1 x
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微积分（一） calculus
然而, yx,x[1,1];
y y x
在x=0处不可导,也不存在结
论中的点 ， 使 得 f()0. 1
0
1x
注意：零值定理求函数的零点(函数方程的实根)，
罗尔定理求导数的零点(导数方程的实根)。
2 5 6 37 (1,1) (舍去) 在(1,1)内存在一点1，使得f (1) 0.
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例 2已 知 f(x) (x 2 )(x 1 )(x 1 )(x 3 ),不 求 导 数 ， 试 确 定 f(x) 0 有 几 个 实 根 及 其 所 在 范 围 . 解 f (x), f (x)都是多项式