8 近代平差基础前面介绍的五种平差方法，我们称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及、测绘技术的发展和现代化建设的需要，对数据处理的精度要求越来越高，为此，在经典平差方法的基础上，产生了一些新的测量平差模型，如稳健估计、秩亏自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。

本章将介绍这些平差基本理论及其应用。

2178.1稳健估计简介经典平差总是假设观测值中只含偶然误差，不含粗差，平差模型正确，但测量实践表明，由于种种原因可能产生粗差或错误。

粗差即粗大误差，粗差要比偶然误差大好多倍。

对粗差的处理，目前有两种基本途径。

一是从函数模型入手，在未正式进行最小二乘平差计算之前进行数据预处理，设法探测和定位粗差，然后剔除含粗差的观测值，从而得到一组较干净的观测值,最后，再用这组较干净的观测值进行最小二乘平差,第7章中第6节介绍的粗差检验的数据探测法就属于这种方法；二是从随机模型入手，寻找既能自动抗拒粗差的影响，又基本上具备经典最优估计统计特性的估计方法，218稳健(Robust)估计就是这种途径的一种有效估计方法。

稳健估计是针对最小二乘估计不具备抗粗差这一缺陷提出来的，对粗差具有一定的抵抗能力，具有以下特点：1.当不含有粗差时，所估计的参数是接近最优的；2.当含有少量粗差时，所估计的参数变化也较小；3.当含有较多粗差时，所估计的参数也不会太差。

第一个特点的不足之处是所获得的估计结果不是最优的，第二特点表明，虽然所获得的估计结果不是最优的，但能得到比较满意的结果，估计方法是比较好的，第三个特点可以防止某些相当坏的情况，估计结果也不会变得太坏。

如果一个估计方法，在实际模型与假定模型相差较小时，其性能变化也较小，则称它是稳健的，可见稳健就是实际模型偏219220离假定模型的不敏感性。

稳健估计的具体方法很多，下面只作简单介绍。

设有误差方程为111⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l x B V假定为等权观测，若不等权则可转化为等权观测。

稳健估计的原则是()()min ˆ11=-=∑∑==ni iini il x b v ρρ (8-1)令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n b b b B 21221即ib 为B 阵中第i 行向量。

最小二乘估计，可理解为()2iiv v =ρ，由于2v 随v 的增加而迅速增大，所以最小二乘估计不具有稳健性。

为使估计稳健化，要求能控制奇异值对解的影响，寻求增长速度缓慢的有界函数作为极值函数。

例如选取()V V =ρ，即一次范数最小，就是一种稳健估计的极值函数。

选取不同的极值函数，就会得出不同稳健程度的估计值。

稳健估计是一种求非线性方程的极值解，其中迭代权函数法是一种利用已经掌握的最小二乘估计的计算方法，简单实用，以一次范数最小估计为例，说明这种解法。

设极值函数为()min ==∑∑i iv v ρ222于是 ()ˆˆˆ2122=∂∂=∂∂=∂∂-∑∑∑xv v v vxv x i iiii (8-2)由i i i l xb v -=ˆ得 i i b xv =∂∂ˆ则式(8-2)为=∑ii i v b v或 0=∑ii Ti v v b (8-3)令权函数为223⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⨯n nn v v v diag W 11121(8-4) 则式(8-3)为0==∑WV B v W b Ti i Ti(8-5)上式与间接平差中的方程0=PV B T相似，故将W 视为间接平差的权阵P ，又因W 是改正数V 的函数，故称其为权函数，W 必须通过迭代运算来确定。

定权函数时，为了避免因v =0而出现的计算问题，可取 cv W i i+=1 (8-6)一次范数最小估计的步骤是：2241.列出误差方程；2.令121====nP P P ，组成法方程l B x B B TT =ˆ； 3.计算xˆ和改正数v ； 4.计算权函数1W ，2W ，…，n W ；5.再次组成法方程Wl B xWB B T T=ˆ；6.重新计算xˆ和v ，再定权函数W ； 7.重复第5和第6步，进行迭代，直至两次迭代权函数之差的最大值小于限值为止（或以最后两次参数之差的最大值小于限值作为结束循环条件），最后求得的x ˆ为其稳健估计结果。

225稳健估计方法最常用的有Huber 估计法、丹麦法、周江文法以及李德仁法等等，这些方法都具有各自的稳健估计函数和权函数。

例[8-1] 以 3.5.1中水准网条件平差算例为例，如图8-1。

有2个已知高程点A 、B ，3个待定高程点C 、D 、E 和6个独立高差观测值，该例为三等水准测量，其1km 观测高差中误差0.3 0±=σmm ，观测值中不含粗差。

现在2h位置加了4倍于中误差的粗差，观测值变为11.094m ，其它条件不变，A和B点的高程、观测高差和相应水准路线的长度见表8-1，试进行稳健估计。

表8-1线路号观测高差/m 线路长度/km 已知点高程/m h112.705 1.1 H A=788.135h211.094 2.3H B=811.920h3 6.518 0.8h4 4.570 1.5h5-4.225 2.0h615.302 1.9解：本例中有6个观测值，必要观测数t=3，所以r=n-t=3，226227选取C 、D 、E 三点高程321ˆˆˆX X X 、、为参数估值，参数改正数为321ˆˆˆx x x、、，参数近似值取1X =796.6m 、2X =800.8m 、3X =807.3m 。

1.误差方程为18255018264016215343232221+-=+-+=+-=-+-=+-=-+=x v x x v x vx x v x v x v (㎜)2.令1621====P P P，组成法方程, 计算得xˆ和改正数v []Tx3.515.347.13ˆ=(㎜)[]TV 2.42.43.13.15.85.5----=(㎜)228单位权中误差6.87ˆ0±=P ±=TγσVV (㎜)3.后验方差检验假设为22200.3:==σσH ；2021:σσ≠H统计量为732.150.387.63ˆ)()3(222022=⨯=-=σσχt n以自由度f =3, α=0.05查2χ分布表得348.9)3()(,216.0)3()(2025.022/2975.022/1==-==--χχχχααt n t n现2χ落在了(0.216，9.348)区间外，故拒绝0H ，即认为在α=0.05的显著水平下，观测数据可能存在粗差。

4.计算权函数W,取c=1，得权函数值为iW=[0.15385 0.10526 0.44444 0.44444 0.19048 diag0.19048]5.再计算得xˆ和改正数v[]Tˆ=(㎜)139.5134x4.9.[]T--=(㎜)1.5--9.8V1.41.44.14.16.再计算权函数W,取c=1，得权函数值为iW=[0.16277 0.1014 0.41184 0.41184 0.19717 diag0.19717]7.再次计算得xˆ和改正数v为[]Tˆ=(㎜)1.141.x6.5135229230[]TV 9.39.36.16.11.99.4----=(㎜)8.再次计算权函数i W ,取c =1，得权函数值为diag W =[0.17024 0.09876 0.39018 0.39018 0.202550.20255]08.0max 1<--k iki W W停止迭代，最后一次计算结果即为稳健估计结果，成果如下。

9.C 、D 和E 点高程平差值为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3516.8078351.8006141.796ˆˆˆˆE D CHH H H (m)单位权中误差2312.61ˆ0±=P ±=TrV V σ(㎜)经2χ检验，平差模型正确。

平差后D 点的高程中误差5.3ˆˆ0±==DD DH H H Q σσ(㎜)D 点至E 点间高差平差值的中误差4.3ˆˆ222ˆˆ0ˆ±==hh h Q σσ(㎜)2328.2 附加系统参数的平差经典平差中总是假设观测值中只含偶然误差，不含系统误差，平差模型正确，但测量实践表明，尽管采用各种有效的观测措施，仍会含有残余的系统误差。

消除或减弱这种残余系统误差也可借助于平差方法，即通过在经典平差模型中附加系统参数的方法对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。

经典的高斯—马尔可夫模型为⎪⎭⎪⎬⎫==∆==∆∆-=-120200~P Q D L D E X B L σσ）（）（）（， (8-7)当观测值中含有系统误差时，显然2330≠∆）（E在这种情况下，需要对经典的高斯—马尔可夫模型进行扩充。

设观测误差G ∆包含系统误差S∆和偶然误差∆，即∆+∆=∆S G考虑平差是线性模型，可设SA S~=∆，于是有∆+=∆S A G~(8-8)及 SA E S ~)(=∆将式(8-8)代入式(8-7)，即得附加系统参数的平差函数模型和随机模型为⎪⎭⎪⎬⎫==∆=++=∆-+=-12020ˆˆˆ~~P Q D L D d S A X B L S A X B L σσ）（）（或 (8-9)由式(8-9)得误差方程为234())(,ˆˆˆˆ1111d BXL L L l l S xA B l S A xB V oo n m m n t t n n +-=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (8-10)上式为间接平差的误差方程，t B R =)(，m A R =)(，为列满秩，参数xˆ之间和S ˆ之间相互独立，)(m t n +>。

按最小二乘准则min=PV V T分别对xˆ和S ˆ求偏导数，并令其等于零，转置以后，将误差方程代入得法方程⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Pl A Pl B S xPA A PB A PA B PB B T T TTTT ˆˆ (8-11)令PAA N N PAB N PB B N TT TT====22211211，，式(8-11)可简写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Pl A Pl B S xN N N N T T ˆˆ22211211 (8-12)235由分块矩阵求逆公式得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---------Pl A Pl B MN N M MN N N N M N N N S xT T 111121111211111121112111111ˆˆ (8-13)式中 121112122N NN N M --=如果平差模型中不含有系统误差，即0~=S ，则有Pl B N xT1111ˆ-=考虑到此关系式，则式(8-13)可写成)ˆ(ˆˆ1211121111xN Pl A MN N x x T--=-- (8-14)和)ˆ(ˆ1211xN Pl A M S T-=- (8-15) 由间接平差的协因数公式知，式(8-13)右端的系数是法方程式系数阵的逆，亦即平差参数估值xˆ和S ˆ的协因数阵为236⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-==+=-------112111ˆˆ1ˆˆ11121112111111ˆˆMN N Q MQ N N MN N N Q S X S S X X (8-16)单位权中误差为)(ˆ0m t n PV V T+-±=σ(8-17)加入系统参数，改变了原有的平差模型，为了确保平差参数的正确性，要对系统参数的显著性进行检验，即对SA ~的显著性进行检验。