精品文档
《导数及其应用》经典题型总结
、知识网络结构
题型一求函数的导数及导数的几何意义 考点一导数的概念，物理意义的应用
考点二导数的几何意义的应用
例2:已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1 , 1)，且在点Q(2, -1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、 c 的值
例3:已知曲线已。
|(1)求曲线在(2,勺处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程
题型二函数单调性的应用
例1. (1)设函数f(x)在x 2处可导，且
(2)已知 f(x) x(x 1)(x
2)L (x 1
，求h 叫
f(2 h) f(2 h)
2h
2008)，求 f (0).
考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状
例1如果函数y = f(x)的图象如图，那么导函数y = f(x)的图象可能是()
例2已知函数f(x) = ；x2+ a l n x(a€ R, 0)，求f(x)的单调区间.(含参函数求单调区间)
a
练习：求函数f(x) x 的单调区间。
x
例3若函数f(x) = x3—ax2+ 1在(0,2)内单调递减，求实数a的取值范围.(单调性的逆向应用)
练习1：已知函数f(x) 2ax x3,x (0,1], a 0，若f (x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围。
2. 设a>0,函数f (x) x3 ax在(1, +s)上是单调递增函数，求实数a的取值范围。
3 2
3. 已知函数f(x) = ax + 3x -x+1在R上为减函数，求实数a的取值范围。
总结：已知函数y f (x)在(a,b)上的单调性，求参数的取值范围方法：
1 、利用集合间的包含关系
2 、转化为恒成立问题(即f/(x) 0或f/(x) 0 )(分离参数)
3 、利用二次方程根的分布(数形结合)
例4求证sinx x, ( x )(证明不等式)
练习：已知x>1，证明x>ln(1 + x).
题型三函数的极值与最值考点一利用导数求函数的极值。
1 In x + 1
例1求下列函数的极值：(1)f(x) = x+—；⑵f(x)= ----------- .(不含参函数求极值
4x x
a
例2设a>0,求函数f(x) = x + -(x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值x
值)
(含参函数求极
a o o
例3设函数f(x) = ~x + bx + cx + d(a>0)，且方程f' (x) —9x= 0的两个根分别为 3
8,+^)内无极值点，求a的取值范围.(函数极值的逆向应用)
,4.若f(x)在(—
例4已知函数f(x) = x3—3ax —1, 0. (利用极值解决方程的根的个数问题)
(1)求f(x)的单调区间；
⑵若f(x)在x=—1处取得极值，直线y= m与y= f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.
题型四函数的最值
4x
例1求函数f(X)二,x 2,2的最大值与最小值。
(不含参求最值)
x 1
3 2
例2 已知函数f(x) = ax —6ax + b，试问是否存在实数a、b，使f(x)在［—1,2］上取得最大值3, 最小值一29,若存在，求出a, b的值；若不存在，请说明理由. (最值的逆向应用)
__ 3 2
例 3 已知f(x) = xlnx , g(x) = x + ax —x + 2.
(1)求函数f(x)的单调区间.
⑵若对任意x € (0 ,+x ), 2f(x) < g' (x) + 2恒成立，求实数a的取值范围.(利用极值处理恒成立问题)
_
3 1 2
,.,
练
习1已知f (x ) = x - 2x - 2x + 5，当x € [ — 1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数 m 的取值范围。
3
(2) f (x ) = ax — 3x + 1 对于 x € [ — 1,1]恒有 f (x ) > 0 成立，则 a = ___________ . 二、知识点
1、函数f x 从x 1到x 2的平均变化率:
f x 2
f
x 2 x
1
2、导数定义：f x 在点X 。
处的导数记作 X X 0 f ( x 0
)
lim f(x 0 x) f(x 0)
x 0 3、 函数y f x 在点X 。
处的导数的几何意义是曲线 4、 常见函数的导数公式： ① c ' 0 :②(x ) f x 在点 x
x0,f x0处的切线的斜率. ⑤(a x ) a x | na ; ⑥(e x ) 5、导数运算法则: 6、在某个区间 ③(
sin x) cosx :④ ⑦(lOg a x)
(cosx) —:⑧ xln a (lnx) sin x ; 1 a,b 内，若f x 0，则函数y f x
0,则函数y 在这个区间内单调递减.
x 在这个区间内单调递增;
7、求解函数y f (x) 单调区间的步骤：
(1)确定函数y f(x)的定义域；(2)求导数y f(X)；
3) 解不等式f '(x) 0，解集在定义域内的部分为增区间；
4) 解不等式f '(x) 0，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数y f x 的极值的方法是：解方程f x 0．当f x00时：
1如果在X。
附近的左侧f X 0，右侧f X 0,那么f X0是极大值;
X 0 ,右侧f X 0 ,那么f X0是极小值．
2如果在X o附近的左侧
9、求解函数极值的一般步骤：
(1)确定函数的定义域(2)求函数的导数f' (x)
( 3)求方程 f '(X)=0 的根
( 4)用方程 f '(X)=0 的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格
( 5)由f'(X) 在方程 f '(X)=0 的根左右的符号,来判断f(X) 在这个根处取极值的情况
10、求函数y f X 在a,b 上的最大值与最小值的步骤是：
1 求函数y f X 在a,b 内的极值；
2 将函数y f X 的各极值与端点处的函数值f a , f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值．。