2.1.1椭圆及其标准方程(2) 教案
一、教学目标： 知识与技能：
①能正确运用椭圆的定义与标准方程解题;学会用待定系数法与定义求曲线的方程;
②进一步感受曲线方程的概念，掌握建立椭圆方程的基本方法，体会数形结合的思想。
过程与方法：
①培养学生的观察归纳能力、探索发现能力以及合作学习能力。
②提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力； 同时体会运用数形结合思想解决问题的能力. 情感态度与价值观：
①激发学生学习数学的兴趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.
②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，
③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。
二、教学重点与难点
重点：用待定系数法与定义法求椭圆方程。
难点：掌握求椭圆方程的基本方法。
三、教学方法：四环节教学法，启发引导法 四、教学手段：多媒体辅助教学 五、教学过程： (一)问题情境：
如果点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式:10)3()3(222
2
=-++
++y x y x ,点M 的轨迹是什么曲线?写出它的方程.
（复习旧知，学生讨论，教师引导得出答案）
回答问题：由题意得：点M （x ，y ）到点F1（0，-3）与点F2（0，3）的距离之和为常数10。
由椭圆的定义得：点Ｍ的轨迹是以F1（0，-3）和F2（0，3）为焦点，2a 为10
的椭圆。
其标准方程是
116
252
2=+x y 回顾旧知：
1．椭圆的定义：
我们把 叫做椭圆，这两个定点F 1、
F 2叫做椭圆的 ,两个焦点之间的距离叫做椭圆的 ，通常用2c （c>0）
表示，而这个常数通常用2a 表示,椭圆用集合表示为 。
2．椭圆的标准方程
焦点在X 轴的椭圆的标准方程为:
焦点在Y 轴上椭圆的标准方程为: . 提问：方程有什么特点？ 学生回答，教师适当补充：
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1； （2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0； （3）焦点在大分母变量所对应的那个轴上； （4）a 、b 、c 都有特定的意义，
a —椭圆上任意一点P 到F1、F2距离和的一半；c —半焦距.
有关系式 2
2
2
c b a += 成立。
（二）新知探究:
1.口答练习：（提问学生完成以下问题）
①方程
19
452
2=+y x 表示到焦点F1 和F2 ________的距离和为常数_____的椭圆;
②求满足下列条件的椭圆的标准方程
③如果方程1m
y 4x 2
2=+表示焦点在X 轴的椭圆,则实数m 的取值范围是 ．
④ 已知∆ABC 中，B （-3，0），C （3，0），且AB ，BC ，AC 成等差数列。
（1）求证：点A 在一个椭圆上运动； （2）写出这个椭圆的焦点坐标。
证:(1)根据条件有AB+AC=2BC , 即AB+AC =12，
即动点A 到定点B,C 的距离之和为定值12， 且12>6＝BC ，
所以点A 在以B,C 为焦点的一个椭圆上运动.
（2）这个椭圆的焦点坐标分别为（-3,0）,（3,0） 2.探究1：
12(1)5,(3,0),(3,0)=-a F F (2)5,3
==a c
已知椭圆两个焦点的坐标分别是1F （-2，0），F 2（2，0），并且经过点P )2
3,25(-，求它的标准方程.
先让学生自己思考，然后引导学生得出：可类比圆的标准方程，先确定标准方程的形式，用椭圆的定义或待定系数法求解。
教师指出：注意椭圆有两种标准方程，要正确选择。
法1.定义法：
因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(122
22>>=+b a b
y a x
由椭圆的定义知，,102232252322522
222=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a
所以10=a .
又因为c=2，所以.64102
2
2
=-=-=c a b
因此，所求椭圆的标准方程为.16
102
2=+y x 法2.待定系数法：
由题意，椭圆的两个焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为).0(122
22>>=+b a b
y a x
由已知，c=2，所以.42
2
=-b a ①
又由已知，得
123252
2
22=⎪
⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ②
联立①②解方程组，得6,102
2
==b a .
因此，所求椭圆的标准方程为.16
102
2=+y x 本题小结：求椭圆标准方程的解题步骤是什么？
（1）确定焦点的位置； （2）设出椭圆的标准方程；
（3）用椭圆的定义或待定系数法确定a 、b 的值，写出椭圆的标准方程.
注：椭圆定义的应用可使运算更简捷。
探究二：
等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为 ，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A ，B 。
求：该椭圆方程。
（学生自己画图探究，教师适时引导建立合适的直角坐标系，认真分析等腰三角形特征，结合椭圆的定义及椭圆方程中的a,b,c 的关系最终确定椭圆的方程） 解：24=
BC .如图设椭圆的另一个焦点为以直线DC 为x 轴，线段DC 设椭圆方程为
)0(12
2>>=+b a b
y a x 则|AD| + |AC| = 2a ，|BD| + |BC| = 2a
所以，|AD| + |BD| + |AC| + |BC| = 4a. 即 得 2242422
22
2=⇒⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫=⨯==++=AD AC a AC AD a
在∆ADC 中， ()
2416222
2
2
2
=+=+=AC AD DC
()
246222,62
2222=-+=-==∴c a b c
故所求椭圆方程为
12
42
4622=+
+y x
本题小结：这道题的收获是什么？
1.合理建立直角坐标系，待定系数法求解椭圆方程
2.重视椭圆定义的应用
3.等腰直角三角形的特殊性，勾股定理的应用
4.数形结合思想
（三）反思总结：
1.本节课你的收获有哪些？
2.本节课你的困惑有哪些？ （四）课后作业：
课本36页练习3； 42页习题2.1A 组第7题
24a
4248=+。