课时分层作业(四十) 公式五和公式六
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π2－α等于( )
A ．－1
2 B ．12 C.32
D ．－3
2
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝1
2. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝－sin α＝－1
2
.]
2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k
D ．不确定
B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α等于( ) A ．－1
3 B.1
3 C.223
D ．－223
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＋π2
＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A ．－2a
3 B ．－3a 2 C.2a 3
D ．3a 2
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ， 即sin α＝a 2，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]
5．化简：sin (θ－5π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2－θcos (8π－θ)
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－3π2sin (－θ－4π)＝( )
A ．－sin θ
B ．sin θ
C ．cos θ
D ．－cos θ
A [原式＝sin (θ－π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θcos θ
cos θsin (－θ)
＝
(－sin θ)(－sin θ)cos θ
cos θ(－sin θ)
＝－sin θ.]
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋αcos(π＋α)＝ .
－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝ . －3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，
又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝1
2，故tan φ＝－ 3.]
8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝4
5，则cos(α－85°)＝ . －35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，
所以sin(5°＋α)＝－
1－cos 2(5°＋α)＝－3
5，
所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－3
5.] 三、解答题
9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)的值．
[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35，
所以|OP |＝1，sin α＝－3
5. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)
＝
cos αtan α－sin α(－cos α)
＝1
cos α，
由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
10．求证：2sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ－
3π
2cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ＋
π
2－1
1－2sin2θ
＝
tan(9π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
.
[证明]左边＝
－2cos θ·sin θ－1
sin2θ＋cos2θ－2sin2θ
＝
－(sin θ＋cos θ)2
(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
右边＝
tan(8π＋π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan(π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan θ＋1
tan θ－1
＝
sin θ
cos θ
＋1
sin θ
cos θ
－1
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
所以等式成立．
11．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为()
A．－
3
2B．
3
2
C．－
1
2D．
1
2
A[因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3
2.]
12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()
A．89B．90
C.
89
2D．45
C[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋
sin 245°＝44＋12＝89
2.]
13．已知
sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝ .
3
10 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝sin θcos θ
＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2
θ ＝
tan θtan 2θ＋1
＝310.]
14．(一题两空)已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π).
(1)化简f (α)＝ .
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，且α是第二象限角，则tan α＝ .
(1)sin α (2)－4
3 [(1)f (α) ＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π)
＝
－tan α·cos α·cos α
－cos α
＝sin α.
(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，得cos α＝－35，
又α是第二象限角， 所以sin α＝
1－cos 2 α＝4
5，
则tan α＝sin αcos α＝－4
3.]
15．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 所以sin 2
α＝1
2.
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，
所以α＝π4或α＝－π4.
将α＝π4代入②，得cos β＝32.
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知符合． 将α＝－π4代入②得cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知不符合． 综上可知，存在α＝π4，β＝π
6满足条件.。