目
1．问题引入 2．思路点拨 3．判别分析方法
录
4．DNA序列分类问题的求解 5. 参考文献
1．问题引入
首先，我们来考虑一下2000年“网易杯” 全国大学生数学建模竞赛的A题是关于“DNA
序列分类”的问题
人类基因组中的DNA全序列是由4个碱 基A，T，C，G按一定顺序排成的长约30亿 的序列，毫无疑问，这是一本记录着人类 自身生老病死及遗传进化的全部信息的 “天书”。但是，除了这四种碱基外，人 们对它所包含的内容知之甚少，如何破译 这部“天书”是二十一世纪最重要的任务 之一。在这个目标中，研究DNA全序列具 有什么结构，由这4个字符排成的看似随机 的序列中隐藏着什么规律，又是解读这部 天书的基础，是生物信息学 （Bioinformatics）最重要的课题之一。
判 别 分 析 方 法
1.距离判别 2.贝叶斯（Bayes）判别 3.费希尔（Fisher）判别 4.判别分析模型的 显著性检验
3.1 距离判别
距离判别的基本思想：样品 X 离哪个总体的距离最近，就判断 X 属于哪个总体。 这里的“距离”是通常意义下的 距离（欧几里得距离：在 m 维欧几里 T 得空间 R 中，两点 X ( x1 , x2 ,, xm ) 与 T Y ( y1 , y2 ,, ym ) 的欧几里得距离，也就 是通常我们所说的距离为 d 2 ( X ,Y ) ( X1 Y1 ) 2 ( X 2 Y2 ) 2 ( X m Ym ) 2 ）吗？ 带着这个疑问，我们来考虑这样 一个问题 ：
作为研究DNA序列的结构的尝试，试对以下序列 进行分类： 问题一：下面有20个已知类别的人工制造的序列 （见附件1），其中序列标号1—10 为A类，11-20 为B类。请从中提取特征，构造分类方法，并用这 些已知类别的序列，衡量你的方法是否足够好。 然后用你认为满意的方法，对另外20个未标明类 别的人工序列（标号21—40）进行分类，把结果 用序号（按从小到大的顺序）标明它们的类别 （无法分类的不写入）： A类 ； B类 。
细读全题 对未知事物进行分类
问题的 本 质
对另外20个未标明类别 的DNA序列进行分类 对182个自然DNA 序列进行分类
如果将每一个DNA序列都看作样本，那 么该问题就进一步提炼成一个纯粹的数学
G1 问题：设有两个总体（类） 和 ， 其分布特征（来自各个总体的样本）已知， G2 对给定的新品 ，我们需要判断其属 X 于哪个总体（类）。
问题二：请对 182个自然DNA序 列 （/mcm 00/problems.htm）进行分类。 它们都较长。用你的分类方法对
它们进行分类，并给出分类结果。 看了这道题，我们应当从何 处入手呢，我们应该怎样进行分 析呢……
2．思路点拨
根据 所给 的20 个已 知类 别的 DNA 序列 所提 供的 信息
对于上面的数学问题，可以用很多成熟 的方法来解决，例如： （1）BP神经网络； （2）聚类分析；
（3）判别分析；等等。
如何选取方法是建模过程中需要解决的另外一个 问题：BP神经网络是人工神经网络的一种，它通过对 训练样本的学习，提取样本的隐含信息，进而对新样 本的类别进行预测。BP神经网络可以用以解决上面的 DNA序列分类问题，但是，如何提取特征、如何提高 网络的训练效率、如何提高网络的容错能力、如何建 立网络结构是能否成功解决DNA序列分类问题的关键 所在；聚类分析和判别分析都是多元统计分析中的经 典方法，都可以用来将对象（或观测值）分成不同的 集合或类别，但是，聚类分析更侧重于“探索”对象 （或观测值）的自然分组方式，而判别分析则侧重于 将未知类别的对象（或观测值）“归结”（或者说， 分配）到已知类别中。显然，判别分析更适合用来解 决上面的DNA序列分类问题。
虽然人类对这部“天书”知之甚少，但也 发现了DNA序列中的一些规律性和结构。 例如，在全序列中有一些是用于编码蛋白 质的序列片段，即由这4个字符组成的64种 不同的3字符串，其中大多数用于编码构成 蛋白质的20种氨基酸。又例如，在不用于 编码蛋白质的序列片段中，A和T的含量特 别多些，于是以某些碱基特别丰富作为特 征去研究DNA序列的结构也取得了一些结 果。此外，利用统计的方法还发现序列的 某些片段之间具有相关性，等等。这些发 现让人们相信，DNA序列中存在着局部的 和全局性的结构，充分发掘序列的结构对 理解DNA全序列是十分有意义的。
设有两个正态总体 G1 , G2 ， X ~ N (1 , 2 ) 和 Y ~ N ( 2 ,6 2 ) ， 现在有一个新的样品位于 A 处（参见图1）
d2
d1
图 1
从图中不难看出：
显然不是，因为从概率的角度来看， G2 总体 的样本比较分散，而总体 的样 G1 A 本则非常集中，因此 处的样品属于总 G1 体 的概率明显大于属于总体 的概率， G2 A 也就是说， 处的样品属于总体 的“可 G2 能性”明显大于属于总体 的“可能 G1 性”！这也说明了用欧几里得距离来度 量样品到总体距离的局限性。因此，需 要引入新的距离概念——这就是下面给 出的马氏距离。
G2
定义1（马氏距离）：设总体
3．判别分析方法
判别分析是用于判别样品所属类别的一种 多元统计分析方法。判别分析问题都可以这样 描述：设有 k个 m维的总体 G1, G2 , , Gk ，其分布 特征已知（如已知分布函数分别为 F1 ( x), F2 ( x), , Fk ( x) 或者已知来自各个总体的样本），对给定的一 个新样品 X ，我们需要判断其属于哪个总体。 一般来说，根据判别规则的不同，可以得到不 同的判别方法 ，例如，距离判别、贝叶斯 （Bayes）判别、费希尔（Fisher）判别、逐步 判别、序贯判别等。这里，我们简单介绍三个 常用的判别方法：距离判别、贝叶斯（Bayes） 判别和费希尔（Fisher）判别。