基于模糊偏好关系及OWA算子的多准则群决策方法摘要: 文章基于决策者给出的语言变量评估结果并借助于模糊理论研究了多人多准则群决策问题，根据一种基于加权的新型模糊偏好关系及计算模糊关系的解析表达式，集结不同决策者的偏好信息，得出群体偏好信息。

此外，为了使专家载决策时能就所决策的问题达成最大程度的一致，本文提出了一些“软的”度量专家在决策时所达成的一致程度的一些指标及计算方法，为进一步调整专家决策时的评估信息提供了依据。

关键词：模糊偏好关系；OW A算子；模糊多准则群决策. 模糊偏好关系矩阵Multi-Criteria Group Decision-Making Based on Fuzzy Preference Relation andOWA OperatorAbstract: This paper investigates the multiperson-multicertia decision-making based on fuzzy set theory and the linguistic evaluation of the experts. According to a new weighed fuzzy preference relation and its computation method to get the individual preference relations. Then these individual relations are aggregated based the OWA operator to attain the objective preference relation. In addition to obtain the maximum degree of consensus or agreement between the set of experts on the solution set of alternatives some measures are presented.Keywords: fuzzy preference relation; OWA operator; multi-criteria group decision-making Fuzzy preference relation matrix多准则群决策的实质是通过多位专家的参与从一组备选方案中选择最佳方案。

一般首先每位专家首先依据自己的偏好给出个人对每个方案在不同准则下的评估结果，然后再对每位专家的评估结果用一定的方法进行集结形成最终的评估结果。

由于在评估过程中专家对一些准则下方案的评估信息往往带有不确定性和主观成分，所以模糊集理论常被用来表示某些方案的评估结果，所以本研究中的专家评估结果大多采用三角型的模糊数表示。

模糊多准则群觉策问题一般包含两个阶段：个人偏好关系的集结和在所集结的偏好关系基础上选取最优方案。

如何定义模糊偏好关系，并在此基础上形成群体的模糊偏好关系，就成为解决模糊多准则群决策的关键。

基于个人评估结果构造模糊偏好关系的算法文献中已经存在不少，但是它们大多计算复杂，不利于计算机进行计算组成实际的决策系统，在实际中难于操作。

本论文利用Yuan 定义的模糊偏好关系构造一种多准则决策中模糊偏好矩阵的高效算法，在评估结果为三角模糊数的情况下，构造了一个基于模糊偏好关系和模糊大多数的群决策模型。

1预备知识在文献[1]中，通过对Yuan 的模糊偏好关系定义的改进，得出了三角模糊数表示的一种新的加权模糊偏好关系：j i P A A ~,~(μ）=i P A ~(μj A ~，0Z )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+05.00)(21βββββ （1）,4321βββββ+++=ααβαααd A A U j i A A U j i ⎰>--=0)~~(:1)~~.(,ααβαααd A A Lj i A A Lj i ⎰>--=0)~~(:2)~~.(ααβαααd A A U j i A A U j i ⎰<--=0)~~(:3)~~.(,4:()0.()Li j Li j A A A A d αααβαα-<=-⎰其中L j i A A α)~~(-和U()i j A A α-分别为模糊数j i A A ~~-的左隶属函数和右隶属函数，α表示可能性水平。

由其导出的隶属函数的解析式：j i P A A ~,~(μ）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===>≤≤++--≥≥<-++-+≤≤<>≥≥05.00,0,0)]4()(2[(0,0,02)4()[(10,0,000,0,01233323c b a c b a c b a b c c c c b a a c b a a b a c b a c b a （2）2模糊群决策模型在考虑决策问题时，假设有一有限的决策方案集为X={n x x x ,,21},n ≥2,其中i x 为第i 个备选方案。

设决策群体为E={m e e e ,,,21 }, m ≥2,其中k e 为第k 个决策者。

C={q c c c ,,,21 }为评估准则集.记tk g (i x )为专家t e 对方案i x 关于第k 个准则的评估结果，其形式为三角模糊数（a ,b ,c ）型的语言变量，a ,b, c 为实数，且其中a ≤b ≤c. ),(j i t k x x r 为专家t e 在准则k c 下关于被选方案i x 和j x 的模糊偏好关系：),(j i tk x x r =P()(),(j tk i tk x g x g ) （3）专家t e 对方案i x 和j x 关于所有准则的模糊偏好关系 ),(j i tx x r =∑=⨯qk k 1ω ),(j i tkx x r ,∑=qk k1ω=1 （4）其中k ω 为每个评估准则的权重，其形式为语言变量，如下表所示： 这时我们将获得专家t e 的个人模糊偏好矩阵： n x x x 21tP =n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ijP2．1群体模糊偏好矩阵的获得定义6(OWA 算子) 设F:I I n→，若∑==ni i i n b v a a a F 121),,,( ，其中Tn v v v V ),,,(21 =是与F 相关联的加权向量，]01[∈i v ，∑=nk k v 1=1，且i b 是一组数据i a (i =1,2,…..n)中第i 个最大的元素，称F 为n 维OWA 算子[13]。

OWA 算子填补了“max ”和“min ”算子之间的空白，可以通过调整权重向量V 获得介于最大和最小之间的运算关系。

权重向量V 可以通过量化函数Q(x)来获得，如下：)1()(ni Q n i Q v i --= （5） 在群决策中，最优方案一定是被大多数专家所接受的，这里的大多数是一个模糊的概念，本文我们通过“Most ”,“ At least half ”, “As many as possible ”这三种模糊大多数算子来表达这种模糊大多数的概念，通过它们来计算权重向量。

具体形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-->=ax b x a a b ax bx x Q 01)( a ,b ∈[0 1], x ∈[0 1] 下图是这三种OWA 算子具体形式：x 0.5“Most ” “At least half ” “As many as possible ”用上面定义的模糊大多数算子对各位专家各自的模糊偏好矩阵进行集结，就形成群体模糊偏好矩阵c P ：),,,(21m ij ij ij Q c ij p p p F p =（i ≠ j ） （6）2．2 最优方案的选择过程在获得的群体模糊偏好矩阵的基础上，用两个量化因子i QGDD 和i QGNDD 来衡量在模糊大多数意义下每个被选方案优于其它所有方案的程度和不劣于其它所有方案的程度。

这两个量化因子的计算都是基于以上的OWA 算子的，具体的定义如下：（1）优于其它所有方案的程度的的量化因子 对于任一i x ，用iQ G D D 来表示ix 在模糊大多数意义上优于其它所有被选方案的主导程度，如下：i Q G D D =),,,1,(i j n j p F c ij Q ≠= （7）（2）不劣于其它所有方案的程度的量化因子 对于任一i x ，用i Q G N D D 表示每个被选方案在模糊大多数意义上不劣于其它所有方案的程度。

i QGNDD =),,,1,1(i j n j p F s ji Q ≠=- （8） 其中 }0,m a x {c ij c ji s ji p p p -=，表示j x 严格优于i x 。

基于以上的两个量化因子最优方案的选择步骤如下：step1：运用以上的两个量化因子于每一个被选方案，获得以下的两个方案集合：j Xx i i i QGDD QGDD QGDD X X X X j ∈=∈=sup ,|{}，j Xx i i i Q GND D QGNDD QGNDD X X X X j ∈=∈=sup ,|{}step2：=QGCP X QGNDD QGDD X X ⋂ ,如果,φ≠QG CP X 结束选择，否则，继续。

step3： 根据每个方案优于其它所有方案的程度的大小或者不劣于其它所有方案的程度的大小继续选择：（1） 基于每个方案优于其它所有方案的程度大小的选择过程QG-DD-NDD 运用i QGDD 对于方案集X,得到QGDD X ，如果#（QGDD X ）=1，这时获得的将是最优方案，否则，使NDD DD QG X --={j X x i Q G D D i i QGDD QGDD X X X QGDDj ∈=∈sup ,|}便可得到最优方案。

（2）基于每个方案不劣于其它所有方案的程度大小的选择过程 QG-NDD-DD运用i QGNDD 对于方案集X,得到QGNDD X ，如果#（QGNDD X ）=1，这时获得将是最优方案，否则，使DD NDD QG X --={j X x i Q G ND D i i QGDD QGDD X X X QGNDDj ∈=∈sup ,|}便可得到最优方案。

2．3最优方案的部分排序除了可以得到备选方案的完全排序之外，有时还需要得出备选方案之间的部分排序，基于上面得出的两两备选方案之间的模糊偏好关系（式（3）），首先通过OWA 算子聚合所有评估专家对于该两对备选方案的模糊偏好关系，即对于任意i x ，X j x ∈，12R(,)((,),(,),,(,))m i j Q i j i j i j x x F r x x r x x r x x = （9）其中Q 为式（5）定义的OWA 算子。