第6章 气象上常用小波及其应用实例(1)前面五章讲述了小波分析方法的由来和原理，这些基本知识为气象上实际应用奠定了基础。

本章将介绍气象上常用的几种小波，特别是Haar 小波和墨西哥帽（Mexihat ）小波，以及小波分析的应用实例。

6.1 二进小波二进小波的产生基于第4章的“二分法”。

它的基本思路是把连续型函数)(t f 及其连续小波变换),(b a W f 离散化，以便于实际应用。

作为一种方便和常用的形式，是对小波参数中的放（伸）缩因子a 进行二进制离散。

若小波函数系的表达式{}Zm,n n t am∈-- ),(ψ（••） 中的放缩因子)(2Z j a j ∈=，则称)(t ψ为二进小波。

把经过这种离散化后的二进小波的变换，称为二进小波变换。

强调说明：在应用时所用的小波函数系（式（••））与前面第4章第3节的式（•）有所不同。

比照这两式：),()(),2(2)(,2/,b at a t k t t b a jj kj -=-=ψψψψ或（•）),()(,n t at mn m -=-ψψ（••） 可以看出，二者主要的不同点是t 的系数a 指数正负号恰好相反。

所以，用式（•）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变窄；而用式（••）的小波作变换时，随着a （或者j ）的增大，W 曲线变宽。

定义6.1 函数)()(2R L t ∈ψ被称为二进小波，若存在两个常数∞<≤<B A 0，使得：∑∈-≤≤Zj j B A .)2(ˆ2ωψ（6.1）上述条件式（6.1）称为稳定性条件；若A =B ，则称最稳定条件。

而函数序列{}Zj j f W ∈2称为二进小波变换，其中，,d 2)(21)()(22b b t t f t f t f W Rjjjj ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=*=ψψ（6.2）这里j a 2=是放缩因子，b 是平移因子。

由卷积定理知：)2(ˆ)(ˆ)(ˆ2ωψωωj f f W j ⋅= （6.3） 据此，稳定性条件等价于：对任意)()(2R L t f ∈，有：∑∈≤≤Zj fB fW fA j 2020220（6.4）下面定理说明，二进小波一定是允许小波。

定理6.1 设)(t ψ是二进小波，则它一定是允许小波，且.2ln d )(ˆ,d )(ˆ2ln 022B A ≤-≤⎰⎰∞∞ωωωψωωωψ（6.5）若A =B ，则上式变成：.2ln 2d )(ˆ2A C ==⎰∞+∞-ωωωψψ （6.6）其中A 、B 的含义同式（6.1）。

式（6.5）的证明如下：用变量替换，可得ωωωψωωωψd )(ˆd )2(ˆ1222212⎰⎰+=j jj因此，用ω除式（6.1）中每一项并在区间（1，2）上对ω积分，有.2ln d )(ˆ2ln 02B A ≤≤⎰∞ωωωψ同样，用-ω除式（6.1）每一项并在区间（-2，-1）上对ω积分，得.2ln d )(ˆ2ln 02B A ≤-≤⎰∞+ωωωψ证毕。

定理6.1表明，当ψ使得式（6.1）成立时，由二进小波变换可完全重构原信号。

重构公式是：.d 2)(21)()()( 222b b t t f W t t f W t f R j jj jj ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=*=ψψ（6.7）二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参数进行离散化，而在时域上仍保持平移量（b ）连续变化。

因此二进小波变换仍具有连续小波变换的平移不变性。

这是它有别于离散小波变换的独特优点，后者不具备平移不变性质。

6.2 正交小波中常用的Haar 小波正交小波是一种重要的小波型式，正交小波变换已在第4章讲过。

在正交小波中，Haar 小波是一种常用的型式。

Haar 小波型式简单，使用方便，计算快捷；然而它的缺点也很明显，即缺乏连续性。

本节将详细介绍Haar 小波，由此可以加深对正交小波的理解。

图6.1 Haar 小波(a) 三次样条函数)(t θ； (b) )(t θ的一阶导数，即小波函数t t d /d )(θψ=。

(b) 虚线是小波函数的“简化”，即Haar 小波。

图6.1(a)是作为光滑函数的三次样条函数)(t θ；（b ）是由t d /d θ构成的小波函数，其中虚线意为实曲线的“简化”，即Haar 小波。

也可以从尺度函数与小波函数关系的角度来理解Haar 小波的构造，也就是该小波是如何构造出来的。

这时将信号序列{}4321,,,x x x x 看成单位区间上的一个函数：),()()()()()1,4/3[4)4/3,2/1[3)2/1,4/1[2)4/1,0[1t X x t X x t X x t X x t f +++= （6.8）其中)(),[t X b a 表示区间),[b a 上的特征函数。

)(t f 是一个分段常数函数，如图6.2所示。

).4/3()(),2/1()(),4/1()()4/1,0[)1,4/3[)4/1,0[)4/3,2/1[)4/1,0[)2/1,4/1[-=-=-=t X t X t X t X t X t X图6.2 序列{}4321,,,x x x x 对应的分段常数函数现分析)()4/1,0[t X 、)()2/1,4/1[t X 、)()4/3,2/1[t X 和)()1,4/3[t X 之间的关系。

由平移关系知：)4/1()()4/1,0[)2/1,4/1[-=t X t X ,)2/1()()4/1,0[)4/3,2/1[-=t X t X ,)4/3()()4/1,0[)1,4/3[-=t X t X .另一方面，)()4/1,0[t X 可以看成单位区间上的特征函数的伸缩，即)2()(2)1,0[)4/1,0[t X t X =于是，)()2/1,4/1[t X 、)()4/3,2/1[t X 和)()1,4/3[t X 都可看成)()1,0[t X 的伸缩和平移。

引入记号： ),()()1,0[t X t =ϕ（6.9）定义：)12,,1,0(),2()(,-=-=jj kj k k t t ϕϕ（6.10）则有 )()(0,0t t ϕϕ=⎩⎨⎧<≤==.0,1/2,t 0 ,1)2()(0,1其它t t ϕϕ⎩⎨⎧<≤=-=.0,1,t 1/2 ,1)12()(1,1其它t t ϕϕ这表明，)()(110,1t t ϕϕ和可以由)(0,0t ϕ的伸缩与平移得到。

如图6.3所示。

图6.3 尺度函数的图形称)(t ϕ为Haar 尺度函数。

于是，式（6.8）定义的函数)(t f 可以重新写成如下形式：).()()()()(3,242,231,220,21t x t x t x t x t f ϕϕϕϕ+++= （6.11）即函数f (t )可以用一个尺度函数)(t ϕ的伸缩和平移的线性组合表示。

k j ,ϕ在其上不为零的区间叫做该函数的支撑。

可以验证，k j ,ϕ的支撑为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+j jk k 21,2，支撑的宽度j21随j 的增加而减小。

j 称为分辨率，j21称为尺度。

下面讨论用{}4321,,,x x x x 的小波变换{}1,10,10,00.0,,,d d d a 来表达式（6.11）定义的函数)(t f 。

把式（6.11）看成)(t f 最高分辨级的分解。

求平均如同把)(t f 进行较低分辨级的表示，这等价于用0,1ϕ和1,1ϕ来表示)(t f 。

在这种表示中，0,1ϕ的系数是0,1a ，它是式（6.11）中)(t f 的前两个系数的平均值；1,1ϕ的系数是1,1a ，它是)(t f 的后两个系数的平均值。

于是得到如下的函数：)()()(1,11,10,10,11t a t a t g ϕϕ+= （6.12）一般地，21x x ≠，所以由1)8/1(x f =及2/)()8/1(210,11x x a g +==知，1g 不等于1f ，即用1g 来表示f 时丢失了一些细节信息，因而需要一个函数来描述这种信息。

该函数称为小波函数。

基本小波函数定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=-=. 0,0,1/2 1,-1/2,0 ,1 )()()()1,2/1[)2/1,0[其它t t t X t X t ψ （6.13）于是，)12()2()(--=t t t ϕϕψ。

)(t ψ称为Haar 小波，如图6.4所示。

与尺度函数)(t ψ类似，定义小波函数的伸缩和平移如下：.12,,1,0),2()(,-=-=jj kj k k t t ψψ（6.14）于是有),()(0,0t t ψψ=⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤==. 0,1/2,1/4 1,-1/4,0 ,1 )2()(0,1其它t t t t ψψ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=-=. 0,1,3/4 1,-3/4,1/2 ,1 )12()(1,1其它t t t t ψψ图6.4 Haar 小波)(t ψ图6.5 )(0,1t ψ和)(1,1t ψ的图形表示)(0,1t ψ和)(1,1t ψ的图形如图6.5所示。

现在重新考虑利用{}1,10,10,00.0,,,d d d a 、尺度函数{}1,10,1,ϕϕ和小波函数{}1,10,1,ψψ表示)(t f 的问题。

由式（6.8）知，)(t f 的最高分辨率表示是在长度为1/4的子区间上。

下面就在每个子区间)1,4/3[)4/3,2/1[),2/1,4/1[),4/1,0[和上来看一下f g 和1的差别，以便利用小波函数捕捉丢失的细节信息。

在区间)4/1,0[上，);()()(0,10,110,10,111d a x d a x t g t f +=⇒=-=- 在区间)2/1,4/1[上，)()()(0,10,120,10,121d a x d a x t g t f -=⇒-=-=-。

这表明，在区间)2/1,0[上，)()()(0,10,10,10,1t d t a t f ψϕ+=。

类似地，在区间)1,2/1[上，有)()()(1,11,11,11,1t d t a t f ψϕ+=。

将区间)2/1,0[及)1,2/1[上两个)(t f 的表达式写在一起，可以得到区间)1,0[上)(t f 的一个新的表达形式：).()()()()(1,11,10,10,11,11,10,10,1t d t d t a t a t f ψψϕϕ+++= （6.15）)(t f被表示成支撑宽度为1/2的尺度函数与小波函数的线性和。

其中，)(0,10,1t d ψ和)(1,11,1t d ψ用于捕捉用)(1t g 逼近)(t f 时丢失的细节信息。

现在根据对{}1,10.1,a a 求平均的原理，引入区间)1,0[上的平均函数)(0,00,0t a ϕ代替式（6.15）中的前两项，而细节项保持不变。