解：在图中，设∠POQ=a FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角 三角形．
OQ 6400 cos a 0.9491 OF 6400 343
F P α O· Q
a 18.36
∴弧PQ的长为
18.36 6400 2051(km) 180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan AD AD
BD AD tana 120 tan30
y/km
北
A
东
C
O
x/km
B
图12
（1）台风中心生成点B的坐标为 ，台风 中心转折点C的坐标为 ；（结果保留根号） （2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台 风的侵袭．如果某城市（设为A点）位于点O的 正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台 风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？

y/km
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（2）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
北
A
东
C
O
x/km
B
图12
C(100 3， 200 100 3) B(100 3， 100 3) （2）过点C作 CD OA 于点D，如图2，则 CD 100 3
解：（1）
在 Rt△ ACD 中

ACD 30
CD 100 3
y/km
CD 3 cos 30 CA 2
B α A β D
3 120 40 3 3
CD AD tan 120 tan60
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277.1
答：这栋楼高约为277.1m
C
练习
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
AF tan i 11.5 ： BF
i=1:1.5 B
6m
F
α
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
DE tan i 1: 3 CE
18.4
如图一段路基的横断面是梯形，高为4.2 米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面 的倾角分别是32°和28°．求路基下底的 宽．（精确到0.1米）

北 30° A
西
O 45°
东
B
南
问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 北
C 北 A
D
有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货
图1
6.如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 用测角仪测量塔顶的仰角为30°， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 3 1.5)m（根号保留）． BE= (40 _________
图2
新人教版九年级数学(下册)第二十八章
§28.2 解直角三角形（3）
方位角
指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
1. 认清图形中的有关线段; 2. 分析辅助线的作法;
想一想
3. 坡角在解题中的作用;
4. 探索解题过程.
19.4.6
作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、 F．由题意可知 DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）. DE 4.2 tan 32 在Rt△ADE中，因为 i AE AE 所以 AE 4.2 6.72 (米)
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
i＝ h = tan a. 显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
l
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直 高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
（1）坡角a和β; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m） 解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90° A D i=1:3 E β C
PC sin B PB PC 72.8 72.8 PB 130 sin B sin 34 0.559
B
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 45° 54° 40m
A B
AC tan ADC DC
AC tan ADC DC

D
C
tan 54 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m.
巩固练习：海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内 有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛 A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测 得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继 续向东航行，有没有触礁的危险？
A
30°
60°
B
12
D
F
解：由点A作BD的垂线
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90° 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
B D F 30°
A
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
CA 200
A
200 20 6 30
5 6 11
D
O
60
C
x/km
台风从生成到最初侵袭该城要经过 11小时．
B
图2
练习
王英同学从A地沿北偏西60º 方向走100m到B地 ，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英 同学离A地多少距离？
北 E B 西 D
100m 600
10.4 > 8没有触礁危险
相信你能行
1.如图所示，轮船以32海里每小时的速 度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在轮 船的北偏东30 °处，半小时航行到B处， 发现此时灯塔Q与轮船的距离最短，求 灯塔Q到B处的距离（画出图像后再计算）
B Q
30°
A
2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯 塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/ 时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处 看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与 渔船的距离是( A )
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角 ，视线在水平线下方的是俯角，因此 ，在图中，a=30°,β=60°
分析：从组合体中能直接看
到的地球上的点，应是视线 与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是组合 体的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q PQ 是从组合体中观测地球时的 最远 的长就是地面上P、Q两点 点． PQ 间的距离，为计算 的长需 PQ 先求出∠POQ（即a）的度数.
F P
Q
α O·
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDEBD
cos50 520 0.64 520 332.8

答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
当堂反馈
3.如图3，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是 45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高 AB等于 100( 3 1)m （根号保留）．
Ａ
a