高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划第一课时教学过程及授课内容 教学过程函数及其性质一.函数的概念 1.函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域..2. 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.（1）对应规律例1. 132(22-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f例2.设).2(,1sin 1)(πf x x x f 求=解 22sin 2)2(ππππ==f例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f（2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域例4.的定义域求函数712arcsin 62-+--=x x x y解：23,0)2)(3062-≤≥≥+-≥--x x x x x x 或既（4371271712≤≤-≤-≤-≤-x x x 既 则函数的定义域为[][]4,32,3⋃--函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 例5.下列函数是否相同，为什么 （1）x y x y ln 2ln 2==与 （2）x y u w ==与 3． 函数的记号Y 是x 的函数，可以记作y=)(x f 也可以记作)()(x F x y 或ϕ=等，但同一函数在讨论中应取定记法，同一问题中涉及多个函数时，则应取不同的记号分别表示它们个自的对应规律，有时也用 记号)(),(),(x v v x u x y y ===等表示函数.这种函数的记号称为函数的解析表达式.4． 函数的三种表示方法, (1)图像法用函数的图形来表示函数的方法称为函数的图像表示方法,简称图像法.这种方法直观性强并可观察函数的变化趋势,但根据函数图形所求出的函数值准确度不高且不便于作理论研究.(2)表格法将自变量的某些取值及与其对应的函数值列成表格表示函数的方法称为函数的表格表示方法,简称表格法. 这种方法的优点是查找函数值方便，缺点是数据有限、不直观、不便于作理论研究.(3)公式法用一个（或几个）公式表示函数的方法称为函数的公式表示方法,简称公式法，也称为解析法.这种方法的优点是形式简明，便于作理论研究与数值计算，缺点是不如图像法来得直观.在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x x y 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示. ③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x 可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或, y 称为x 对应的函数值，记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f=),Dy∈(,xxf其中，x称为自变量，y称为因变量.二．函数的四种特性设函数)y=的定义域为区间D，函数的四种特性如下表所示.f(x思考题答案1．①对应规则; ②定义域．2．提示：考虑函数的四种特性在函数图像上反映的特点．3．①是; ②在同一坐标系中)()(y x x f y ϕ==与的图像相同，与)(1x f y -=的图像关于直线x y =对称．习作题答案1．①是; ②是; ③不是; ④不是 （提示：考虑每个x 值是否有y 值与之对应，且y 值是否惟一）．2．提示：可取横轴为时间，纵轴为路程来描述四.小结1.函数的概念2.函数的性质 五.布置作业 9P习题一 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8.第二课时教学过程一． 基本初等函数六种基本初等函数见下表二. 反函数、复合函数和初等函数反函数、复合函数和初等函数的定义见下表例 1. 函数21x y -=是由21,x u u y -==复合成的，其定义域为[]的是不能复合成一个函数的一部分；，它是由222,arcsin 11,1x u u y x u +==-=- 例2.分析下列复合函数的结构：(1) y =2cot x； (2) y =1sin2+x e .例3.设)].([)],([2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例4 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin 22+=x y ， （2） )eln(tan sin 22xx y +=.解 (1) 最外层是二次方，即2u y =，次外层是正弦，即 v u sin = ，从外向里第三层是幂函数 ，即21-=wv ，最里层是多项式，即 12+=x w ,所以，分解得 2u y = ，v u sin = ，21-=w v ，12+=x w .(2) 最外层是对数，即,ln u y =次外层是正切，即v u tan =, 从外向里第三层是指数函数，即w v e = ，最里层是简单函数，即 2x w =+2x sin , 所以，分解得 u y ln =，v u tan =，w v e =，2x w =+2x sin .小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 4.建立实际问题的函数模型的方法例5. 某工厂生产某产品年产量为若干台，每台售价为300元，当年产量超过600台时，超过部分只能打8折出售，这样可出售200台，如果再多生产，则本年就销售不出去了，试写出本年的收益函数模型.解 设某产品年产量为x 台，收益函数为.)(x y .因为产量超过600台时，售价要打8折，而超过800台时，多余部分本年销售不出去，从而没有效益，因此，把产量划分为三个阶段来考虑收益.根据题意，有⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯+⨯-⨯+⨯=,2003008.0600300),600(3008.0600300,300)(x xx y ,800,800600,6000>≤<≤≤x x x即收益函数模型为⎪⎩⎪⎨⎧-+=,228000,)600(240180000,300)(x x x y .800,800600,6000>≤<≤≤x x x 例4 . 一下水道的截面是矩形加半圆形(如图)，截面积为A ，A 是一常量。

这常量取决于预定的排水量.设截面的周长为s ，底宽为x ，试建立s 与x 的函数模型.解 设矩形高为h ，根据等量关系写关系式x h x s π212++= ①显见，在关系式①中有两个变量x 及h ，此外我们应把s 表成x 的一元函数.为此，需把 变量h 也表示成与x 有关的量.根据题中所给限制条件——截面积为A , 建立x 与h 的关系.2)2(π21x xh A += 即 2π81x x A h -= ②将②代入①得xAx s 2)4π1(++= )0(>x此式即为我们所要找的周长与底宽x 的函数模型.小结 运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明其定义域.四、学法建议1．本章的重点是函数、复合函数、初等函数等概念以及定义域的求法. 2．本章所介绍的内容虽然绝大部分属于基本概念，并且在中学已经学过，但它们是微积分学本身研究问题时的主要依据.因次，学习本章的内容应在原有的基础上进行复习提高.3．从实际问题中建立函数模型是解决实际问题关键性的一步，也是比较困难的一步，因为要用到几何学、物理学、经济学等方面的知识与定律.但我们仍要注意这方面的训练，以便逐步培养分析问题和解决问题的能力.五.课堂练习 思考题 习作题 思考题答案 答：不是． 习作题1．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π<<π=Z k k x k x D ,4| 提示：（令x u tan =，则应有10<<u ）．2．()0,111)]([≠-=x xx f f , ()1,0)]}([{≠=x x x f f f 六.布置作业 习题一 10P 10. 11. 12. 18. 19. 29。