4.最小二乘法线性拟合（非常好）我们知道，用作图法求出直线的斜率a 和截据b ，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a 和b 误差较大。
用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a 和截据b 是唯一的。
最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX 关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a 和b 。
显然，关键是如何求出最佳的a 和b 。
(1) 求回归直线设直线方程的表达式为：bx a y += (2-6-1)要根据测量数据求出最佳的a 和b 。
对满足线性关系的一组等精度测量数据（x i ，y i ），假定自变量x i 的误差可以忽略，则在同一x i 下，测量点y i 和直线上的点a+bx i 的偏差d i 如下：111bx a y d --=222bx a y d --=n n n bx a y d --=显然最好测量点都在直线上（即d 1=d 2=……=d n =0），求出的a 和b 是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d 1、d 2、……、d n 为最小，也就是考虑d 1+d 2+……+d n 为最小，但因d 1、d 2、……、d n 有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d 1|+|d 2|+……+ |d n |又不好解方程，因而不可行。
现在采取一种等效方法：当d 12+d 22+……+d n2对a 和b 为最小时，d 1、d 2、……、d n 也为最小。
取（d 12+d 22+……+d n 2）为最小值，求a 和b 的方法叫最小二乘法。
令 ∑==ni idD 12＝2112][i i ni ni ib a y dD --==∑∑== (2-6-2)D 对a 和b 分别求一阶偏导数为：][211∑∑==---=∂∂ni i n i i x b na y a D][21211∑∑∑===---=∂∂n i i n i i n i i i x b x a y x b D再求二阶偏导数为：n a D 222=∂∂； ∑==∂∂ni i x b D 12222 显然： 0222≥=∂∂n a D ； 021222≥=∂∂∑=n i i x b D 满足最小值条件，令一阶偏导数为零：011=--∑∑==ni i ni ix b na y(2-6-3)01211=--∑∑∑===ni i ni i ni ii x b x a yx (2-6-4)引入平均值： ∑==ni i x n x 11； ∑==n i i y n y 11；∑==n i i x n x 1221； ∑==ni i i y x n xy 11则： 0=--x b a y02=--x b x a xy （2-6-5） 解得： x b y a -= （2-6-6）22xx y x xy b --=（2-6-7）将a 、b 值带入线性方程bx a y +=，即得到回归直线方程。
(2) y 、a 、b 的标准差在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。
操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。
实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y 、a 、b 的标准差(n ≥6)如下：2)(21212---=-=∑∑==n a bx yn dni i ini iy σ (2-6-8)(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)y y ni i n i i ni i a x x n x x x n xσσσ)()(222211212-=-=∑∑∑=== (2-6-9)y y ni i ni i b x x n x x n nσσσ)(1)(222112-=-=∑∑== (2-6-10)(3)相关系数相关系数是衡量一组测量数据x i 、y i 线性相关程度的参量，其定义为： ))((2222y y x x y x xy r ---=（2-6-11）r 值在0<|r|≤1中。
|r|越接近于1，x 、y 之间线性好；r 为正，直线斜率为正，称为正相关；r 为负，直线斜率为负，称为负相关。
|r|接近于0，则测量数据点分散或x i 、y i 之间为非线性。
不论测量数据好坏都能求出a 和b ，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|<r 0时，测量数据是非线性的．r 0称为相关系数的起码值，与测量次数n 有关，如下表2-６-2表2-6-2 相关系数起码值r 000在进行一元线性回归之前应先求出r 值，再与r 0比较，若|r|> r 0，则x 和y 具有线性关系，可求回归直线；否则反之。
例9：灵敏电流计的电流常数K i 和内阻R g 的测量公式为g i sR U dR K R R -=12测得的数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出K i 和R g ，并写出回归方程的表达式。
解：测量公式与线性方程表达式y ＝a+bx 比较：2R y = U x = dR K R b i s1=g R a -=数据处理如表2-6-3：中间过程可多取位：x ＝1.67125 y ＝225.0 2x ＝3.34625 2y ＝6.375×104xy ＝461.5625相关系数998.0))((2222=---=y y x x y x xy r查表得知，当n=8时，r 0=0.834，两者比较r>r 0，说明x 、y(即U 、R 2)之间线性相关，可以求回归直线。
求回归方程的系数22xx y x xy b --=＝154.6192304x b y a -=＝-33.4代换a R g -=＝33.4Ωb dR K R i i s=＝154.6192304K i ＝dbR R i s ＝3.7170×10-9A/mm 计算标准差为：y σ＝2.64561902； a σ＝2.300545589； b σ＝1.257626418计算不确定度： ΔR g ＝a σ＝2Ω； K K i ∆＝bb σ＝0.81％； ΔK ＝0.03×10－9A/mm 测量结果表达式电流计内阻： R g ＝(33±2)Ωgg R R ∆＝6.1％电流常数： K ＝(3.72±0.03)×10－9A/mm KK i∆＝0.81％ 回归方程： R 2＝155U －33 5.计算器在数据处理中的应用在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型计算器为例作以介绍。
（1）计算标准偏差S① 标准偏差S 的计算器运行公式：12)(111211212-+-=--=∑∑∑∑====n xx x x x x n s ni n i i n i i ni i因为 ∑==ni i x n x 11所以 1)(2112--=∑∑==n nx xs ni i ni i（只有为x i 单变量）② 操作步骤和方法(ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。
屏右上角显示“STAT1”指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。
(ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏幕均会显示数据的个数n 值。
(ⅳ) 数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。
(ⅴ) 取分析结果：[INV][x ]：平均值[INV][∑x ]：数据和 [INV][∑x 2]: 数据平方和[INV][S]：测量列的标准偏差 [INV][n]：数据个数例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，试求x 、∑x 、∑x 2、S 、n 。
解：注：当n ≥6时，认为＝S 。
（2）最小二乘法求回归直线① 求回归直线参量a 、b 、r 的计算器运行公式由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含x i 、y i 两个变量的公式：nx b ya ni ini i∑∑==-=11∑∑∑∑∑=====--=ni i n i i ni ii ni ini ix n x y x n yx b 1221111)(])(][)([12122112111∑∑∑∑∑∑∑=======---=n i ni i i n i i n i i ni in i i n i i i y y n x x n y x y x n r② 操作步骤和方法：(ⅰ) 按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。
屏幕右上角显示“STAT2”指示符。
(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键(ⅲ) 双变量数据输入：先键入x 的值、 按[a]键， 然后键入y 的值、 按[b]键，再按[DATA]键，完成输入。
屏幕会同时显示数据的个数，即n 值。
(ⅳ) 数据修正：同单变量数据输入。
(ⅴ) 取分析结果[INV][a]：回归直线的截距 [INV][b]：回归直线的斜率[INV][r]：相关系数 还可以取以下值：[INV][x ]、[INV][y ]、[INV][Σx]、[INV][Σx 2]、[INV][Σy]、[INV][Σy 2]、[INV][Σxy]， 以便计算y σ、a σ、b σ(计算器没有该三项的计算程序)。
例11： 灵敏电流计实验所测数据如下：要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数K i 和内阻R g 。
解： 测量公式g i sR U dR K R R -=12与线性方程表达式y ＝a+bx 比较y ＝R 2 x ＝U ，则：查表知道，当n ＝8时，r 0＝0.834， r>r 0，说明U 、R 2之间线性相关。
得到： 回归方程 R 2＝154U －32 电流计内阻 R g ＝32Ω电流常数 K ＝3.74×10－9A/mm习 题1．指出下列测量结果的有效数字： (1) I ＝5010mA(2) C ＝2.99792458×108m/s2．按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留3位有效数字：(1) 1.005 (2) 979.499 (3) 980.501 (4) 6.275 (5) 3.134 3．单位变换：(1) m ＝3.162±0.002kg＝ g ＝ mg ＝ T (2) θ＝(59.8±0.1)°＝( )ˊ(3) L ＝98.96±0.04cm＝ m ＝ mm ＝ µm4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：(1) Y ＝(1.96×1011±5.78×109)N/m 2(2) L ＝(160000±100)m5．按有效数字运算规则计算下列各式：(1) 1000-5＝(2) 3.2×103＋3.2＝(3) tg3005ˊ＝(4)125.100325.100125.100325.100 ＋＝(5) R 1＝5.10k Ω，R 2＝5.10×102Ω，R 3＝51Ω。