2002年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（天津）卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 互相独立，那么 P （AB ）=P （A ）P （B ）如果事件A 在试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式 cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径。

一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）曲线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （ ） （A ）21 （B ）22 （C ）1（D ）2（2）复数3)2321(i +的值是 （ ） （A ）i -（B ）i（C ）1-（D ）1（3）已知m 、n 异面直线，l l n m ，则，平面，平面=⋂⊂⊂βαβα （ ） (A)与m 、n 都相交 （B ）与m 、n 中至少一条相交; （C ）与m 、n 都不相交 （D ）至多与m 、n 中的一条相交 （4）不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ） （A ）{}10<≤x x （B ）{}10-≠<x x x 且 （C ）{}11<<-x x （D ）{}11-≠<x x x 且（5）在（0,2π）内，使sinx>cosx 成立的x 取值范围为 （ ） （A ）)45,()2,4(ππππ⋃ （B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ （D ）)23,45(),4(ππππ⋃（6）设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N Z k k x x M ,214,,412则 （ ） （A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）φ=⋂N M （7）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1,侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 独角戏与BC 1所成的角是 （ ） （A ）900 （B ）600 （C ）450 （D ）300（8）函数),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是 （ ） （A ） b ≥0 （B ）b ≤0 （C ）b>0 （D ）b<0（9）已知10<<<<a y x ，则有 （ ） （A ）0)(log <xy a （B ）1)(log 0<<xy a （C ）2)(log 1<<xy a （D ）2)(log >xy a（10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C 满足βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为：（A ）3x-2y-11=0 （B ）(x-1)2+(y-2)2=5 （C ） 2x-y=0 （D ）x+2y-5=0 （11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 (A)8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%。

” 如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 （A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元 第二卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）函数)),1((12+∞-∈+=x xxy 图象与其反函数图象的交点坐标为________。

（14）椭圆5522=-ky x 的一个焦点是（0,2）,那么k=_____________.（15）直线x=0，y=0，x=2与曲线xy )2(=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于________。

（16）已知函数221)(x x x f +=，那么=++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f ______________。

AB 1AAED三．解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 已知)42cos(.232,53)4cos(παπαππα+<≤=+求的值。

注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。

（18甲）（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2。

（1） 建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2） 求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角（18乙）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。

点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a ).20(<<a（1） 求MN 的长；（2） 当a 为何值时，MN 的长最小；（3） 当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。

（19）（本小题满分12分）某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）。

（1）求至少3人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小于0.3？（20）（本小题满分12分） 已知0>a ，函数),0(,1)(+∞∈-=x x ax x f 。

设ax 201<<，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为l 。

（1）求l 的方程；（2）设l 与x 轴交点为)0,(2x 。

证明： ①ax 102≤<； ②若a x 11<，则ax x 121<<（21）（本小题满分12分）已知两点M （-1,0），N （1,0），且点P 使NP NM PN PM MN MP ∙∙∙,,成等差小于零的等差数列。

（1）点P 的轨迹是什么曲线？（2）若点P 坐标为),(00y x ，记θ为PM 与的夹角，求θtan 。

（22）已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足,3,021==a a,5,4,3),2)(2(211=++=--+n a a a a n n n n ……。

（1） 求3a ；（2） 证明,5,4,3,22=+=-n a a n n ……； （3） 求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。

参考答案一．选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每题5分，满分60分。

（1）D （2）C （3）B （4）D （5）C （6）B （7）B （8）A （9）D （10）D （11）B （12）C二．填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分16分 （13）（0,0）,（1,1） （14）-1 （15）2ln 3π （16）27三．解答题（17）本小题考查同角三角函数关系式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。

满分12分。

解：).2sin 2(cos 224sin2sin 4cos2cos )42cos(ααπαπαπα-=-=+3737,cos()0,,44442444sin().454324cos 2sin(2)2sin()cos()2()2445525πππππππαααπαπππαααα≤+<+>∴+===-=+=++=⨯-⨯=-由此知〈＋〈从而50231)2572524(22)42cos(.257)53(21)4(cos 21)22cos(2sin 22-=--⨯=+∴=⨯-=+-=+-=παπαπαα注意：考生在（18甲）、（18乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18甲）计分。

本小题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方法，考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。

满分12分。

解：（1）如图，以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以1AA 所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面11A ABB 垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系。

由已知，得)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(),0,0,0(11a aa C a A a B A --------4分（2）坐标系如上。

取11B A 的中点M ，于是有)2,2,0(a aM ,连1,MC AM 有DE)0,0,23(1a MC -=,且)2,0,0(),0,,0(1a AA a == 由于0,01111=∙=∙AA MC AA MC 所以，111AABB MC 面⊥∴所成的角。

与侧面所成的角就是与1111A ABB AG AM AC22211120111119(,),(0,)02222443294cos ,30322a a a AC AM AC AM a a AC AM aa AC AM AC AM AC ABB A a =-=∴∙=++=====∴==∙ 而所以，与所成的角，即与侧面所成的角为（18乙）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

满分12分。

解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。

∴MN=PQ 由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,∴21,212a BQ aCP BF AC ====即2aBQ CP==∴MN PQ a ====<<（2）由（1）22,,222221)22(2的长最小，最小值为的中点时，分别移动到即时，所以，当MN BF AC N M MN a a MN ==+-=（3）取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，∴∠AGB 即为二面角α的平面角。

又46==BG AG ，所以由余弦定理有 31464621)46()46(cos 22-=∙∙-+=α。

故所求二面角)31arccos(-=α。

（19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。

满分12分。

解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即0616266661615211(0.5)(0.5)(0.5)16432C C C ++---=-=（2）至少4人同时上网的概率为3.03211)5.0()5.0()5.0(666656646>=++C C C 至少5人同时上网的概率为3.0647)5.0)((66656<=+C C 因此，至少5人同时上网的概率小于0.3.（20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。