；
a2＝
|a|
；
n
an＝

a |a|
，n为奇数， ，n为偶数.
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(3)分数指数幂
m
an
＝n
am
；
－
a
m n
＝
1
m
＝
1
.(a>0，m，n∈N，且
a n n am
n>1) (4)指数幂的运算性质
ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ar·s，
(a·b)r＝ar·br.(a>0，b>0，r，s∈R)
∴bb··aa＝ 3＝624 ②
①
②÷①得 a2＝4，
又 a>0，且 a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
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(2)由(1)知 a＝2，b＝3，∴(1a)x＋(1b)x－m≥0 在(－∞， 1]上恒成立，即 m≤(12)x＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．
令 g(x)＝(12)x＋(13)x， 则 g(x)在(－∞，1]上单调递减， ∴m≤g(x)min＝g(1)＝12＋13＝56， 故所求实数 m 的取值范围是(－∞，56]．
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化简：(1) 51＋2－( 3－1)0－ 9－4 5＝________；
2
1
1
1
1
5
(2)(2a 3 b 2 )( － 6a 2 b 3 )÷( － 3a 6 b 6 ) ＝
__________.(a>0，b>0)
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解析：(1)原式＝ 5－2－1－ 5－22 ＝( 5－2)－1－( 5－2)＝－1.
解析：0<a<1 时，f(x)＝ax 在[1,2]上单调递减， ∴a－a2＝a3，∴a＝23； a>1 时，f(x)＝ax 单调递增，∴a2－a＝a3， ∴a＝43. 答案：43或23
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三、解题技巧 1．比较一组幂式、对数式形式的数的大小时，一般 先区分正、负(与 0 比)；正数再与 1 比较，找出大于 1 的 和小于 1 的；底数相同的幂式，用指数函数的单调性； 底数相同的对数式用对数函数的单调性；指数相同的幂 式用幂函数的单调性或指数函数的图象；真数相同的对
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解析：令 t＝ax，则 y＝t2＋2t－1，对称轴方程为 t＝ －1，
若 a>1，∵x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a， y 最大值＝a2＋2a－1＝14，∵a>0，∴a＝3.
若 0<a<1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈a，1a， y 最大值＝1a2＋21a－1＝14， ∵0<a<1，∴a＝13，∴a＝3 或13.
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第五节
指数与指数函数
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重点难点 重点：①指数幂的运算法则． ②指数函数的概念、图象与性质． 难点：①根式与分数指数幂的运算． ②a>1 与 0<a<1 时，指数函数图象、性质的区别． ③指数函数图象与性质的应用和简单指数方程、不 等式的求解．
答案：D
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(文)(2011·杭州月考)函数 y＝a|x|(a>1)的图象是( )
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解析：y＝a|x|＝aax－x
x≥0 ，当 x≥0 时，与指数 x<0
函数 y＝ax(a>1)的图象相同；当 x<0 时，y＝a－x 与 y＝ax
的图象关于 y 轴对称，由此判断 B 正确．
∵49<34，
∴49


3 2
3 3 <4 2
，∴23
3<34


3 2
.
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二、分类讨论的思想 [例 2] 函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)在[1,2]上的最大值 比最小值大a3，则 a 的值为________．
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解析：∵y＝log1 x 为减函数，log1 b<log1 a<log1 c
2
2
2
2
∴b>a>c
又 y＝2x 为增函数 ∴2b>2a>2c 故选 A.
答案：A
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已知集合 M＝{－1,1}，N＝{x|12<2x<4，x∈Z}，则
M∩N 等于( )
A．{－1,1}
B．{－1}
x<0
a>1
y>1
0<y<1
0<a<1
0<y<1
y>1
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误区警示 1．忽视底数 a>1 与 0<a<1 时性质的区别及函数的值 域致误．解题的每一步要等价转化． 2．比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数 相等．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性 或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意 中间量 0、1 等的运用．指数函数的图象在第一象限内底 大图高(逆时针方向底数依次变大)．
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(文)若关于 x 的方程 25－|x＋1|－4·5－|x＋1|－m＝0 有实 根，则实数 m 的取值范围是________．
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解析：令 t＝5－|x＋1|知 t2－4t＝m， 则有 m＝t2－4t＝(t－2)2－4. ∵t∈(0,1]，∴m∈[－3,0)．
答案：[－3,0)
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知识归纳 1．整数指数幂的运算性质 (1)am·an＝ am＋n ，(am)n＝ am·n ， (a·b)n＝ an·bn .(m、n∈Z)
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(2)xn＝a，(n∈N，n>1)⇔x＝n a，n为奇数， x＝±n aa>0，n为偶数.
n (
a)n＝
a
因此应有||22ab－－11||＝＝ab ，解得ab＝ ＝01 ， 所以有 a＋b＝1，选 A.
答案：A
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点评：本题解题的关键在于首先由函数的值域推出 b>a≥0，从而避免了对 a、b 的各种可能存在情况的讨论， 然后根据函数的单调性，建立关于 a、b 的方程组求解．
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3．用换元法解题时，要注意“新元”的取值范围．
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一、数形结合的思想
[例 1]
比较233 与34
3 2
的大小．
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解析：在同一直角坐标系中作出函数 y＝49x 与 y＝34
x 的图象，考察 x＝32时 y 值大小，
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数式用对数函数的图象；底数不同、指数也不同的幂式 或底数不同、真数也不同的对数式可引入中间量转化或 化成同底，另外要注意指对互化的灵活运用．
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2．在指数里含有未知数的方程的解法． (1)形如 af(x)＝ag(x)(a>0，a≠1)的方程，化为 f(x)＝g(x) 求解； (2)形如 af(x)＝bg(x)(a>0，b>0，a≠1，b≠1)的方程， 两边取对数； (3)形如 a2x＋b·ax＋c＝0 的方程，用换元法令 ax＝t 化为二次方程求解．
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2．指数函数的图象和性质
指数函数
定义
y＝ax(a>0，a≠1)
图象
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指数函数
(1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过(0,1)点，即 x＝0 时，y＝1. 性 (4)当 a>1 时，在 R 上是增函数； 质 当 0<a<1 时，在 R 上是减函数．
x>0
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2．(文)若 log2a<0，12b<1，则(
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指数幂的运算
[例 1] 化简：
4 (1)(1－a)
a－1 13＝________；
3 (2) xy2· xy－1· xy＝________；
(3)0.25－0.5＋217－
1 3
－6250.25＝________.
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解析：(1)原式＝(1－a)(a－1)
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答案：D
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指数函数的单调性
[例 3] 已知 log1 b<log1 a<>2a>2c
B．2a>2b>2c
C．2c>2b>2a
D．2c>2a>2b
分析：可先由对数函数 y＝log1 x 的单调性得出 a、b、
2
c 的大小，再由 y＝2x 的单调性得出结论．
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一、选择题
1．已知 f(x)＝2x＋2－x，若 f(a)＝3，则 f(2a)＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
[答案] B
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[解析] ∵f(x)＝2x＋2－x，f(a)＝3，∴2a＋2－a＝3，f(2a) ＝22a＋2－2a＝(2a)2＋(2－a)2＝(2a＋2－a)2－2＝9－2＝7.
－
3 4
＝－(a－1)(a－1)
－
3 4
＝－(a－1)
4
＝－4
a－1.
(2)原式＝[xy2(xy－1)
11
]2 3
1
(xy) 2
＝(xy x y ) x y 2
1 2
11 -2 3
1 2
1 2
3 31
11
11