一、知识要点：1）形式： 一般地，把式子)0(≥a a 叫做二次根式。
二次根式的根指数为2次。
2）意义：被开方数0≥a 时，a 才有意义，a a ,0<没有意义。
注意：a 是被开方数，是根号里面的所有内容，可以是单项式，也可以是多项式。
特别地，当a a -,均有意义时，0=a 。
即，一个式子中，有2个被开方数互为相反数时，则这两个被开方数均为0。
思考：设：n m ,都是实数，且满足369922-+-+-=n n n m 。
求：n m ⋅的值注意：a a ,0≥是个非负数特别地，()2,""，均为非负数，当几个非负数的和为0时，则每个非负数均为0。
3）利用)0()(2≥=a a a 给多项式在实数范围内分解因式反过来2)(a a =)0(≥a ,这样任何一个非负数都能写成一个数（其正的平方根）的平方。
特别地，这样可把在有理数范围内不能分解因式的式子在实数范围内分解因式。
4）最简二次根式的条件：1、被开方数中不含有分母（或小数）2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
特别：当被开方数为多项式时，先因式分解分解成因式再判断根式是否是最简。
5）同类二次根式的概念同类二次根式条件：化简后，1、被开方相同 2、都是二次根式特别提醒：判断二次根式是否同类二次根式，必须先将二次根式化为最简二次根式，再判断。
6）根式的化简)0(<-a a2a 的化简：a a =2，即a = )0(0=a)0(>a a 7）根式的乘除法积（商）的算术平方根：)0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a)0,0(>≥=b a ba b a注意： 1）利用公式时，要注意a,b 的符号。
当a,b 为负数时，可以通过添（减）负号，将其变为正数，添（减）负号时，不要改变式子的值。
2）在化简时，首先要根式的意义确定各字母的符号，不能确定的要分开讨论。
3）将根号里的因式．．移到根号外时，要去平方并加绝对值。
将根号外的非负因式移到根号内添平方：如果要移动的因式是负数移到根号内时，要先添负号变正。
在移动因式之前，一定要先判断因式的符号。
8）根式的加减法二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
合并同类二次根式与在多项式中合并同类项类似，因此，二次根式的加减类似于整式的加简。
9）二次根式的混合运算分母有理化问题：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。
b a 的有理化因式为bd c b a ±的有理化因式为d c b a μ（两数和的有理化因式为这两数的差，两数的差的有理化因式为这两数的和）。
10）混合运算乘除法法则：)0,0(≥≥=⋅b a ab b a)0,0(>≥=b a baba(c ≥0) n =( a ≥0)加减法法则：合并同类二次根式（把根式前的系数相加减）根号不变。
混合计算法则，有括号先算括号，先乘除，后加减，能化简尽量先化简。
二、典型例题【例1】下列各式1 其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子3x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a （a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、11x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。
1、已知a b 是 12a b ++的值。
2、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，则y x -的值为（ ）A ．3B ．– 3C ．1D ．– 13、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若1a b -+互为相反数，则()2005_____________a b -=。
（公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的运用）【例5】 化简：21a -+的结果为（ ）A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4【例6】已知2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1、( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、已知a<02a │可化简为（ ）A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a3、若23a p p）A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a - 4、若a －3＜0，则化简aa a -++-4962的结果是（ ）(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 5、2得（ ）（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、已知0a<【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于（ ）A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a举一反三：实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -=．ob a【例8】化简1x -2x -5，则x 的取值范围是（ ）（A ）x 为任意实数 （B ）1≤x ≤4 （C ） x ≥1 （D ）x ≤1举一反三：若代数式2，则a 的取值范围是（ ）Ａ．4a ≥ Ｂ．2a ≤Ｃ．24a ≤≤Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是（ ）A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是（ ）.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、若03)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（ ）（A ）3>x （B ）3<x （C ）3≥x （D ）3≤x【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a1、把二次根式a a-1化简，正确的结果是（ ）A. -aB. --aC. -aD. a2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x xb＝ ；a a --11)1(＝ 。
例11.化简计算已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x xyy x x x y例12. 化简：a31)3a (--例13.已知：4x y ,5y x =-=+，求xy y x+的值。
例14.（忽略同类二次根式的定义）（1）已知b a 3b 4b a ++与是同类二次根式，则a 、b 的值是（ ）A. 0a =，2b =B. 1a =，1b =C. 1b ,1a 2b ,0a ====或D.0b ,2a ==（2）m 为何值时，二次根式6m 24-与43m 26-是同类二次根式？三、总结与反思：四、课后作业：1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A ．a a a 321与B ．232a a 与C ．3233a a 与D ．2a aa a 12与 2.下列各式中，计算正确的是（ ） A ．532=+ B ．2+626= C ．a 10)(1010b a b -=-D ．9432712+=+3.把（a －b ）)(1b a ba <--化成最简二次根式，其正确结果是（ ） A ．ab - B ．b a - C ．－b a - D ．－a b -4．化简aa a 13---得（ ） A ．（a －1）a - B ．（1－a ）a - C ．－（a +1）a D ．（a －1）a5.在下列各组二次根式中：①215831和; ②;2aa 和③222a a 与；④)0(>>+--+n m nm nm n m n m 和，是同类二次根式的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④6．将（a －2）)0(22<-a aa 化简的结果是（ ）A ．a a -2B ．－a a -2C ．a 2-aD ．－a 2-a7. 计算：（1）8x3293514x x x x x +-- （2）)0,0()3(33>>÷+-b a ab ab ab b a8．已知：x =5－2,625,6+=y 求5x 2－12xy +5y 2的值。
9．已知()()x y =+=-12751275，，求下列各式的值。
（1）x x y y 22-+ （2）x y y x+10．已知-≤≤121x ，则x x x x 2221441-++++的结果为（ ）A. xB. x +2C. --x 2D. -3x4、当a<0时，||2a a -=________5、满足5-<x<3整数x 是_______________________6、在Rt △ABC 中，直角边BC=5，AB=25则△ABC 的面积是________.三、计算或化简（1-4每题8分，5-6每题10分，计52分） 1、315.01812+-- 2、)65153(1021-⨯3、)2463)(2463(+-4、)35)(15()25(2+++-5、2362723423a ab b a a b a -+ 6、523a ab a b b a a b-+-。