二次根式的知识点汇总
知识点一：二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是
二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，
所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方
根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而
中a可以是正实数，0，负实数。

但与都是非负数，即，。

因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：同类二次根式
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

知识点八:二次根式的运算：
（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab a b（a≥0，b≥0）；b b
a a
a>0）．
（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
练习题 （做出正确选择 并写出题目的知识点）
1.下列二次根式中，的取值范围是3x ≥的是（ ） A.3x - B.62x + C.26x - D.13x -
2. 要使式子 有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ＞0
B ．x ≥-2
C ．x ≥2
D ．x ≤2
3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A.xy 2
B.2ab
C.2
1 D.422x x y + 4.若2(21)12a a -=-，则（ ）
A ．＜12 B.≤12 C.＞12 D. ≥12
5.下列二次根式,不能与12合并的是( )
A.48
B.18
C.3
11 D.75- 7. 如果最简二次根式38a -与172a -能够合并，那么a 的值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8.已知, 则2xy 的值为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．152-
D.152 9.下列各式计算正确的是（ ）
A.
B. C. D.
10.等式2111x x x -⋅+=-成立的条件是（ ）
A.1x >
B.1x <-
C.≥
D.≤
11.下列运算正确的是（ ）
A.235=-
B.312914=
C.822-=
D.()52522-=-
12.已知24n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A.4
B.5
C.6
D.2
14.化简:=32
； 2318(0,0)x y x y >> = .
15.
. 16. 比较大小:10 3； 22______.
17．已知：一个正数的两个平方根分别是22-a 和4-a ，则a 的值是 ．
18.计算：________； 22512+ ． 19.已知a 、b 为两个连续的整数，且28a b <<，则a b += ． 20.直角三角形的两条直角边长分别为
、，则这个直角三角形的斜边长为________，面积为
________ . 21.若实数y x ,满足22(3)0x y -+-=,则xy 的值为 .
22. 已知实数x ，y 满足|x -4|+
=0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 24.（6分）计算：
（1）127123-+
； （2）1(4875)13
-⨯ ；
(3) |-6|- –； (4) - 25.（6分）先化简，再求值：
÷（2
＋1），其中=2－1.
26.（6分）先化简，后求值：(3)(3)(6)a a a a +---，其中1122
a =
+.
27.（6分）已知23,23x y =-=+，求下列代数式的值：
（1）222x xy y ++ ；(2)22x y -.
28.( 08，济宁)若
，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 29. 化简：（1）9的结果是 ；（2）123-的结果是 ；
（3）825-= （4））5x -2x =_____ _；
（5）3＋（5－3）=_________； （6）
； （7）
＝________；（8） ．。