对称问题专题【知识要点】1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有x x y y -'-'·k =－1，2y y +'=k ·20x x +'+b ，特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）.3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足x x y y --·k =－1， 20yy +=k ·20x x ++b ，代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程.4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）.【典型例题】【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程.剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.2x +y －4=0，3x +4y －1=0，可求出x ′、y ′.从中解出x 0、y 0，解：由解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上方法一：在直线a ：2x +y －4=0上找一点A （2，0），设点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为（x 0，y 0），3×220x ⨯+4×200y +－1=0， 2000--x y =34，解得B （54，－58）.由两点式得直线b 的方程为)58(2)2(-----y =5433--x ，即2x +11y +16=0.方法二：设直线b 上的动点P （x ，y ）关于l ：3x +4y －1=0的对称点Q （x 0，y 0），则有3×20x x ++4×20y y +－1=0，00x x y y --=34. 解得x 0=256247+-y x ，y 0=258724+--y x . Q （x 0，y 0）在直线a ：2x +y －4=0上，则2×256247+-y x +258724+--y x －4=0，化简得2x +11y +16=0是所求直线b 的方程. 方法三：设直线b 上的动点P （x ，y ），直线a 上的点Q （x 0，4－2x 0），且P 、Q 两点关于直线l ：3x +4y －1=0对称，则有5|143|-+y x =5|1)24(43|00--+x x ，00)24(x x x y ---=34.消去x 0，得2x +11y +16=0或2x +y －4=0（舍）.评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E 外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.【例2】 光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.解：∵A （－3，4）关于x 轴的对称点A 1（－3，－4）在经x 轴反射的光线上， 同样A 1（－3，－4）关于y 轴的对称点A 2（3，－4）在经过射入y 轴的反射线上，∴k B A 2=3246--+=－2.故所求直线方程为y －6=－2（x +2）， 即2x +y －2=0.评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例3】 已知点M （3，5），在直线l ：x －2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小. 剖析：如下图，作点M 关于直线l 的对称点M 1，再作点M 关于y 轴的对称点M 2，连结MM 1、MM 2，连线MM 1、MM 2与l 及y 轴交于P 与Q 两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ 的周长最小.由l OxyPQM M M12解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）.同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（－3，5）.据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y －7=0.令x =0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，27）. x +2y －7=0， x －2y +2=0， 故点P （25，49）、Q （0，27）即为所求.评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 深化拓展恰当地利用平面几何的知识解题.不妨再试试这个小题：已知点A （1，3）、B （5，2），在x 轴上找一点P ，使得|P A |+|PB |最小，则最小值为____________，P 点的坐标为____________.答案：41 （517，0）【巩固练习】1.已知点M （a ，b ）与N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线x +y =0对称，则点Q 的坐标为A.（a ，b ）B.（b ，a ）C.（－a ，－b ） D .（－b ，－a ） 解析：N （a ，－b ），P （－a ，－b ），则Q （b ，a ）． 答案：B2.曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是A.y 2=8－4xB.y 2=4x －8C.y 2=16－4x D .y 2=4x －16解析：设曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线为C ，在曲线C 上任取一点P （x ，y ），则P （x ，y ）关于直线x =2的对称点为Q （4－x ，y ）.因为Q （4－x ，y ）在曲线y 2=4x 上，所以y 2=4（4－x ），即y 2=16－4x . 答案：C3.已知直线l 1：x +my +5=0和直线l 2：x +ny +p =0，则l 1、l 2关于y 轴对称的充要条件是A.m 5=n p B.p =－5 C.m =－n 且p =－5 D .m1=－n 1且p =－5解析：直线l 1关于y 轴对称的直线方程为（－x ）+my +5=0，即x －my －5=0，与l 2比较， ∴m =－n 且p =－5.反之亦验证成立. 答案：C4.点A （4，5）关于直线l 的对称点为B （－2，7），则l 的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x －y +3=05.设直线x +4y －5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y －3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ解方程组得交点P （25，49）.6.已知圆C 与圆（x －1）2+y 2=1关于直线y =－x 对称，则圆C 的方程为 A.（x +1）2+y 2=1 B.x 2+y 2=1C.x 2+（y +1）2=1 D .x 2+（y －1）2=1 解析：由M （x ，y ）关于y =－x 的对称点为（－y ，－x ）， 即得x 2+（y +1）2=1. 答案：C7.与直线x +2y －1=0关于点（1，－1）对称的直线方程为 A.2x －y －5=0 B.x +2y －3=0 C.x +2y +3=0 D .2x －y －1=0解析：将x +2y －1=0中的x 、y 分别代以2－x ，－2－y ，得（2－x ）+2（－2－y ）－1=0，即x +2y +3=0.故选C.答案：C8.两直线y =33x 和x =1关于直线l 对称，直线l 的方程是____________. 解析：l 上的点为到两直线y =33x 与x =1距离相等的点的集合，即2)3(1|3|+-y x =｜x －1｜，化简得x +3y－2=0或3x －3y －2=0.答案：x +3y －2=0或3x －3y －2=09.直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A （4，－1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是____________.解析：易知A （4，－1）、B （3，4）在直线l ：2x －y －4=0的两侧.作A 关于直线l 的对称点A 1（0，1），当A 1、B 、P 共线时距离之差最大.答案：（5，6）10.已知△ABC 的一个顶点A （－1，－4），∠B 、∠C 的平分线所在直线的方程分别为l 1：y +1=0，l 2：x +y +1=0，求边BC 所在直线的方程.解：设点A （－1，－4）关于直线y +1=0的对称点为A ′（x 1，y 1），则x 1=－1，y 1=2×（－1）－（－4）=2，即A ′（－1，2）.在直线BC 上，再设点A （－1，－4）关于l 2：x +y +1=0的对称点为A ″（x 2，y 2），则有1422++x y ×（－1）=－1， 212-x +242-y +1=0. x 2=3， y 2=0，即A ″（3，0）也在直线BC 上，由直线方程的两点式得202--y =131++x ，即x +2y －3=0为边BC 所在直线的方程.【能力提高】11.求函数y =92+x +4182+-x x 的最小值.解：因为y =22)30()0(-+-x +22)50()4(-+-x ，解得所以函数y 是x 轴上的点P （x ，0）与两定点A （0，3）、B （4，3）距离之和. y 的最小值就是|P A |+|PB |的最小值.由平面几何知识可知，若A 关于x 轴的对称点为A ′（0，－3）， 则|P A |+|PB |的最小值等于|A ′B |， 即22)35()04(++-=45. 所以y min =45.12.直线y =2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若A 、B 坐标分别为A （－4，2）、B （3，1），求点C 的坐标，并判断△ABC 的形状.解：由题意，点A 关于直线y =2x 的对称点A ′在BC 所在直线上，设A ′点坐标为（x 1，y 1），则x 1、y 1满足4211+-x y =－21，即x 1=－2y 1. ①221+y =2·241-x ，即2x 1－y 1－10=0. ② 解①②两式组成的方程组，得 x 1=4， y 1=－2.∴BC 所在直线方程为121---y =343--x ，即3x +y －10=0.3x +y －10=0， x =2，y =2x ， y =4.∴所求C 点坐标为（2，4）.由题意|AB |2=50，|AC |2=40，|BC |2=10， ∴△ABC 为直角三角形. 13. 已知两点A （2，3）、B （4，1），直线l ：x +2y －2=0，在直线l 上求一点P . （1）使|P A |+|PB |最小； （2）使|P A |－|PB |最大. 解：（1）可判断A 、B 在直线l 的同侧，设A 点关于l 的对称点A 1的坐标为（x 1，y 1）.221+x +2·231+y －2=0，2311--x y ·（－21）=－1. x 1=－52， y 1=－59.由两点式求得直线A 1B 的方程为y =117（x －4）+1，直线A 1B 与l 的交点可求得为P （2556，－253）. 由平面几何知识可知|P A |+|PB |最小.（2）由两点式求得直线AB 的方程为y －1=－（x －4），即x +y －5=0. 直线AB 与l 的交点可求得为P （8，－3），它使|P A |－|PB |最大.解方程组 得则有解得14. 直线l 经过点（1，1），若抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l 对称，求直线l 斜率的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y －1=k （x －1），弦的两个端点分别是A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），代入抛物线方程并作差得（y 1+y 2）（y 1－y 2）=x 1－x 2.∵k AB =2121x x y y --=－k1，∴y 1+y 2=－k .注意到AB 的中点在直线l ：y －1=k （x －1）上，∴x 1+x 2=1－k2. ∴y 12+y 22=x 1+x 2=1－k2. 由y 12+y 22>2)(221y y +，得1－k 2>22k ⇒k k k k 2)22)(2(2+-+<0⇒－2<k <0.解法二：设抛物线上关于直线l ：y －1=k （x －1）对称的两点为（y 12，y 1）、（y 22，y 2），222121y y y y --=－k1221y y +－1=k （22221y y +－1）y 1+y 2=－k ，y 1y 2=22k +k 1－21，∴y 1、y 2是方程y 2+ky +22k +k 1－21=0的两根.由Δ=k 2－4（22k +k 1－21）>0⇒k k k k )22)(2(2+-+<0 ⇒－2<k <0.15.（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图1），若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于（ ）A ．2B ．1C ．8 3D ．4 3则⇒。