山东省枣庄四中九年级数学《二次函数性质的应用》教案 北师大版一 教学目标1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。

2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。

3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。

4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。

二 教学重点和难点重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。

难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。

三 教学过程的形成过程成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。

许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。

值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。

第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。

“二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。

（一） 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评1、 复习提问师 二次函数y=ax 2+bx+c 有哪些性质？ 生 （略）评 教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。

这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。

师 下面大家一起做投影上的练习。

（出示投影）已知二次函数y=x 2-3x+2，填空：(1)图象的对称轴是 ，顶点坐标是 。

[直线x=23, (23,41-)] (2)开口方向是 。

（向上）（3）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。

（23<，23>，23=，小，41-） （4）当x 时，y>0，若y<0，则x 的取值范围是 .(>2或<1,1<x<2)评 复习练习应起到承上起下的作用，要紧扣本节课的教学要求，一些内容联系不大的问题[如练习（4）]，该省略就省略。

2、新课教学师 这一节课我们来学习二次函数性质的应用。

（板书：二次函数的性质应用举例） 先看例1（呈现投影） 例1用长6m 的铝合金条制成如图1的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？师 大家考虑一下，要求窗户的最大透光面积，应先解决什么问题？ 生 先应写出面积关于窗宽的二次函数解析式。

师 窗户面积关于窗宽的二次函数的解析式怎么求呢？ 图1生 设窗户宽为xm ，则窗户高为236x -m ，窗户的透光面积y 与x 的关系是y=x 236x-∙。

师 这里自变量x 的取值范围是什么？根据什么来定的？ 生 根据窗户的宽和高都必须大于零，得 6-3x>0解得：0＜x<2 x>0师 这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？ 生 求函数y=x 236x -∙=x x 3232+-的最大值。

师 怎样求？ 生 当x=a b 2-＝1时，y 的最大值是23。

师 对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。

（教师板书解题过程）评 （1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？（2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。

教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。

师 通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是：⑴ 列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

⑵ 在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。

评 数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。

师 接下来看例2。

（呈现投影片） 例2如图2，B 船位于A 船正东26Km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船以每小时12Km 的速度朝正北方向行驶，B 般以每小时5Km 的速度向正西方向行驶，求A 船何时与B 船相距最近，最近距离是多少?A ’A B ’ B图2师 要求两船相距最近，应先回答下列问题。

（呈现投影片）⑴设若经过t 时，两船A 、B 分别到A ’、B ’，则AA ’= ,BB ’ 。

（2）AB ’＝（3）若设两船的距离为s （km ），写出s 关于t 的函数解析式s= （4）要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？（指定一名学生填空：①AA ’＝12t ，BB ’=5t ②AB ’＝26-5t ③A ’B ’＝)6762601692+-t t生 要求最小值只要求二次三项式169t 2-260t+676的最小值。

师 多项式169t 2-260t+676的最小值.怎么求呢？ 生甲 当t ＝13102=-a b 时，有最小值576。

生乙 用配方法，1695t 2-260t+676=(13t-10)2+576. 当13t-10=0,即t=1310时，有最小值576，则s 的最小值为24 评 这个例题是一个运动点的问题，有条件的情况下最好采用多媒体动态图形，使问题更直观、形象，问题的解答过程可由学生学习小组讨论解决、以调节课堂气氛，调动学生学习积极性，培养学生团队合作能力。

3、课堂练习师 下面做书本的练习。

1． 如图3，周长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？图32． 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积最大。

3． 已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边的最小值，以及当斜边达到最小值时的两条直角边的长。

（学生练习，教师巡视指点）评 课堂练习的目的是为了使学生加深对所学知识的理解，形成知识体系，把多个练习题放在一起做有些枯燥，对巩固所学知识的效果不是最好，练习1、2可在例1讲解后就去完成，练习3放在例2讲解后做，这样更能使例题和练习配套，便于学生归纳总结。

师 请同学们考虑书本中“想一想”的问题。

想一想：你能用配方法求函数y=x 2+x21的最小值吗？（两名学生板演） 生甲211222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x y xx,2min -=∴y .生乙211222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=x x y xx,2min =∴y .师 两个同学的答案谁正确呢？ （学生沉默）师 甲的结果是错误的，因为在实数范围内不存在x 使x+x1=0；乙的结果是正确的，当x=1±时，2min =y4、课堂小结师 这节课我们学习了用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）分析题意，选取适当的量为自变量，列出二次函数的解析式，确定自变量的取值范围。

（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大（小）值。

5、布置作业（略）评 本节课是应用所学知识解决实际问题，应通过学生主动参与、积极动手、观察、讨论、归纳去发现和解决问题，这样有利于开发学生的智力，培养学习兴趣，提高分析问题的能力。

新课的引入相当关键，要能吸引学生的注意力，但本节课的引入缺乏新意，难激起学生的求知欲；对例题的解决了应引导学生去探求，教师不宜讲解过于细致，释疑要留给学生。

（二）修改后成功的教案 1、 创设情境，提出问题板书课题：二次函数性质的应用。

（1） 实验：学生用课前准备好的长6cm 的细铝线围成一个矩形。

①量一量，你的矩形的长和宽是多少？②算一算，你的矩形的面积有多大？③比一比，谁围的矩形的面积最大？（2） 思考和猜想：①围成的矩形的长和宽有什么关系？②矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？（学生自由发言）（①长和宽的和是定长3cm；②当长和宽相等时，面积最大）【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。

（3）怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？①通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm,则宽为多少？[(3-x)cm]②矩形的面积怎样计算？面积y（cm2）与长x（cm）有什么关系？[y=x(3-x)]③x的取值范围由什么确定？怎样求？④怎样求面积y(cm2)的最大值呢？【提示】培养学生用运动变化的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想。

2、例题分析，比较归纳（1）例1 用长6m的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？图4学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。

教师结合下列问题进行启发：①本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？（窗框的宽，窗框的高，窗框的面积）②设这一有代表性的量为x，请用x表示面积y。

（学生口述，教师板书解题过程）【提示】与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲解，让学生体会数学应用意识。

（2）尝试反馈：①如图5，用长20m的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一段长1m的空隙为进出小门（小门不用篱笆），怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？图5③把60表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。

（3）归纳用二次函数解实际问题的步骤:（学生回答，教师补充并板书）①选择适当的变量为自变量；②列二次函数的解析式；③确定自变量的取值范围；④在自变量取值范围内，求二次函数的最大（小）值，（用公式法或配方法）3、 深入探究，问题迁移（1） 出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，①对角线L 与边长（x ）有何关系？学生观察发现：当矩形的边长AB 变化时，它的对角线L 的长也随着变化。

C3-XB图6②能否写出L 关于x 的函数关系？ （L ＝()90623222+-=-+x x x x0<x<3）③能否求出对角线L 的最小值？当被开方式2x 2-6x+9取最小值时，对角线L 也有最小值。