《余弦定理》习题课参
考教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
§1．1．2余弦定理
授课类型：习题课
【教学目标】
1．
掌握余弦定理的推导过程，熟悉余弦定理的变形用法。
2． 较熟练应用余弦定理及其变式，会解三角形，判断三角形的形状。
【教学重、难点】
重点：熟练应用余弦定理。
难点：解三角形，判断三角形的形状。
【教学过程】
【知识梳理】
1.余弦定理：
(1)形式一：
A cos bc 2c b a 222⋅-+=；
B cos ac 2c a b 222⋅-+=；
C cos ab 2b a c 222⋅-+=.
形式二：
bc 2a c b A cos 2
22-+=；
ac 2b c a B cos 2
22-+=；
ab 2c b a C cos 2
22-+=.（角到边的转换）
2.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
3.三角形ABC 中 222222222是直角
ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形
是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
4.解决以下两类问题：
1）、已知三边，求三个角；（唯一解）
2）、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）
【典例应用】
题型一 根据三角形的三边关系求角
例1．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝( 3 ＋1)∶( 3 －1)∶10 ，求最大角.
解：∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k
∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝( 3 +1)∶( 3 －1)∶10
设a ＝( 3 ＋1)k ，b ＝( 3 －1)k ，c ＝10 k (k ＞0)
则最大角为C .cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝( 3 ＋1)2＋( 3 －1)2－10 22×( 3 ＋1) ( 3 －1)
＝－12 ∴C ＝120°.
评析：在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，这一转化技巧，应熟练掌握.在三角形中，大边对大角，所以角C 最大。
[变式训练1]
在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A ．090
B ．060
C ．0135
D ．0150
解： 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-= 222222
013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-==== 答案：B
题型二：题型二 已知三角形的两边及夹角解三角形 例2.在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程02322=+-x x 的两根，()1cos 2=+B A 。
（1） 求角C 的度数；
（2） 求AB 的长；
（3）求△ABC 的面积。
评析：在余弦定理的应用中，注意与一元二次方程中韦达定理的应用。
方程的根往往不必直接求出，要充分利用两根之和与两根之差的特点。
[变式训练]
1在△ABC 中，60,16,2203,A AC S BC ===面积求的长
2. 钝角△ABC 的三边长为连续的自然数，求三边的长。
题型三：判断三角形的形状
例3.在ABC ∆中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，试判断ABC ∆的形状. 解：方法一：
由正弦定理和已知条件得：
2222sin sin sin sin 2sin sin cos cos B C C B B C B C +=，
∵sin sin 0B C ≠，∴sin sin cos cos B C B C =，即cos()0B C +=，
∵B 、C 为ABC ∆的内角，∴90B C +=，90A =
故ABC ∆为直角三角形.
方法二：
原等式变形为：2222(1cos )(1cos )2cos cos b C c B bc B C -+-=，
即：222222cos cos 2cos cos b c b C c B bc B C +--=，
由余弦定理得：
222
222
222222
222
222()()22222a b c a c b a c b a b c b c b c bc ab ac ac ab +-+-+-+-+--=⋅⋅ ⇒2222222
22
2[()()]4a b c a c b b c a +-++-+=⇒222b c a += 故ABC ∆为直角三角形.
评述：判断三角形的形状，一般是从题设条件出发，根据正弦定理、余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系，导出边或角的某种特殊关系，然后利用平面几何知识即可判定三角形的形状。
[变式训练2]
1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ）
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
解：由2cos B sin A =sin C 得ac
b c a 222-+×a =c ，∴a =b . 答案：C
2. 在∆ABC 中，b A a B cos cos =，则三角形为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形 解：由余弦定理可将原等式化为：b b c a bc a a c b ac
⋅+-=⋅+-222222
22 即，2222b a a b =∴=
答案：C
[典例训练]
1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）
A ．1
B ．1-
C ．32
D ．32-
2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ）
A ．A sin
B ．A cos
C ．A tan
D ．A
tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ）
A ．2
B ．2
3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）
A ．006030或
B ．006045或
C ．0060120或
D ．0015030或
6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A ．090
B ．0120
C ．0135
D ．0150
7.在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？
8．在△ABC 中，求证：
)cos cos (a A b B c a b b a -=-
9．在△ABC 中，设,3,2π=
-=+C A b c a 求B sin 的值。
10．已知三角形的两边和为4，其夹角60°，求三角形的周长最小值。
[课堂小节]：熟练应用余弦定理解三角形，判断三角形的形状。
[课下作业]：[典例训练]部分的5、7、10。