? (2a ? 2b ? 1)(a ? b ? 7) 7.4x4 y2 ? 5x2 y2 ? 9 y2
? y2(4x4 ? 5x2 ? 9) ? y2 (4x2 ? 9)(x2 ? 1) ? y2 (2x ? 3)(2x ? 3)(x2 ? 1)
15
8. 1 x2 ? 2xy ? 3 y2 3
? 1 ( x2 ? 6xy ? 9 y2 ) 3
因式分解之
十字相乘法
温故而知新
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab
口答计算结果
(1) (x+3)(x+4) (2) (x+3)(x-4) (3) (x-3)(x+4) (4) (x-3)(x-4)
两个一次二项式 整式乘法 一个二次
相乘的积
三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
? x2 ? 6x? 16
? ? ? ? x2 ? 6x ? 16
? ??x? 8?x?? 2?
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
把下列各式分解因式
1. x2-11x-12 2. x2+4x-12 3. x2-x-12 4. x2-5x-14 5. y2-11y+24
例2、把 y4-7y2-18 分 解因式
十字相乘法 （借助十字交叉线分解因式的方法）
例一：
步骤：
x2 ? 6x ? 7 ? (x ? 7)(x ? 1)①竖分二次项与常
x?
?
7
?7
数项
或
x ?1 1
②交叉相乘，和相 加
? x? 7x? 6x
③检验确定，横 写因式
举一反三：
x2 ? 8x ? 15 ? (x ? 5)(x ? 3)
?
?
小结：
x
?5
用十字相乘法把形如
x 2 ? px ? q
x
?3
二次三项式分解因式为
(?3x) ? (?5x) ? ?8x (x + a )(x + b)
的形式
学以致用
将下列各式分解因式
x2 ? 5x? 6
x2 ? x ? 6
x2 ? 7x? 12 x 2 ? 3 x ? 10
试将 ? x2 ? 6x? 16 分解因式
a ? a1
a2
c1 c2
?c
a?
2 3
1 ?2
2
1.6x2 ? 7 x ? 2 ? (2x ? 1)(3x ? 2) 2? 2? 3? 7
2.3x2 ? 11x ? 10 ? (3x ? 5)(x ? 2)
3.15x2 ? 23x ? 8 ? (15x ? 8)(x ? 1)
? ?x ? m ? 2??x ? m ? 1?
3.mx2 ? ?3m ? 2?x ? 2m ? 2
? ?mx ? 2m ? 2??x ? 1?
17
例3、把 x2-9xy+14y 2 分解因式
用十字相乘法分解下列因式
1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36
5、x4-2x3-48x2
首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解
ax2 ? bx ? c ? (a1x ? c1)(a2 x ? c2 )
4.6x2 ? 19x ? 36 ? (2x ? 9)(3x ? 4)
5. ? 5x2 ? 6xy ? 8 y2 ? ? (5x2 ? 6xy ? 8 y2 )
? ? (5x ? 4 y)(x ? 2 y)
14
6.2(a ? b)2 ? 15(a ? b) ? 7
? ?2(a ? b) ? 1?(?a ? b) ? 7?
? 1 (x ? 3y)2 3
16
例4.分解下列因式
1
2k ? 1
1.x2 ? ?2k ? 2?x ? 2k ? 1
1
1
? ?x ? 2k ? 1??x ? 1?
2k ? 1? 1 ? 2k ? 2
2.x2 ? ?2m ? 1?x ? m2 ? m ? 2
? x2 ? ?2m ? 1?x ? ?m ? 2?m? ? 1?
反过来 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次
两个一次二项式相
三项式 因式分解
乘的积
x 2 ? px ? q
=
x2 ? (a ? b)x? ab ? (x + a )(x + b)
?? pq
q ? ab, p ? a ? b
如果二次三项式 x2+px+q 中的常数项系 数q能分解成两个因数a、 b的积，而且一次项系 数p又恰好是a+b ，那 么x2+px+q 就可以进行 如上的因式分解。