yi qk
Fzi
zi ) qk
(k 1，2，，N) （3－7）
则式（3－6）可以写成
N
WF Qkqk 0
k 1
上式中 Qkqk 具有功的量纲
所以称Qk为与广义坐标qk 相对应的广义力
由于广义坐标的独立性 qk可以任一取值
因此若式（3－8）成立 必须有
（3－8）
Q1 Q2 QN 0
yA yB a sin1 1 ，xB a cos1 1
则对应于 1的广义力为
Q1
W1 FAy A FyB FxB
1
1
（e）
将式（e）代入上式 得
保持 1不变 只有 2 时
如图所示
Q1 (FA FB )a sin1 Fa cos1
由式（b）的变分
可得另一组虚位移
yA 0，yB b sin2 2 ，xB b cos2 2
代入对应于 2 的广义力表达式 得
Q2
W2 FAy A FByB FxB
2
2
FBb sin 2 Fbcos2
例 3－2
如图所示 重物A和B分别连接在细绳两端
重物A放置在粗糙的水平面上
重物B绕过定滑轮E铅直悬挂
在设动重滑物轮A重H量的为轴心2P上挂一重物C 重物B重量为P
不计动滑轮H的重量
（3－9）
上式说明
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零
这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的方法有两种
一种方法是直接从定义式（3－7）出发进行计算
另一种是利用广义虚位移的任意性 令某一个qk 不等于零 而其他N-1个广义虚位移都等于零 代入
从而
WF Qkqk
Qk
WF qk
（3－10）
将式（3－5）代入虚功方程 得到
WF
n
WFi
i1
n i1
(Fxi
N k 1
xi qk
qk
Fyi
N k 1
yi qk
qk
Fzi
N k 1
zi qk
qk
)
N n
(Fxi k 1 i1
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)qk
0
（3－6）
如令
Qk
n
(Fxi
i1
xi qk
Fyi
第三章 分析力学基础
§ 3－1 自由度和广义坐标
在完整约束的条件下 确定质点系位置的独立参数的数目等于系统的自由度数
例如质点M被限定只能在球面
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2
的上半部分运动 由此解出
（3－1）
z c R2 (x a)2 ( y b)2
（3－2）
对于完整系统 广义坐标的数目等于系统的自由度数
考虑由nfk个(r1质，点r2组 成，的rn ，系t统) 受0 s个完(k整 双1，2，侧3，约 ， 束s) （3－3）
设 q1 ，q2 ， ，qN (N 3n s) 为系统的一组广义坐标
我们可ri以将ri (各q1质，点q2 的 ， 坐q标N 表，示t) 为 (i 1，2， ，n) （3－4）
( V xi
xi
V yi
yi
V zi
zi )
V
虚位移原理的表达式成为
V 0
（3－12）
上式说明：在势力场中 具有理想约束的质点系的平衡条件为质点系的势能在平 衡位置处一阶变分为零 如果用广义坐标q1，q2， ，qN 表示质点系的位置 则质点系的势能可以写成广义坐标的函数 即
由虚位移的定义 对上式进行变分运算 得到
ri
N k 1
qrik qk
(i 1，2， ，n)
（3－5）
其中 qk (k 1，2， ，N )为广义坐标qk 的变分 称为广义虚位移
§ 3－2 以广义坐标表示的质点系平衡条件
设作用在第i个质点上的主动力的合力Fi 在三个坐标轴上的投影分别为(Fxi ，Fyi Fzi )
试求平衡时重物C的重量
PC
以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数
解： 系统具有两个自由度
选取重物A向右的水平坐标 x A
和重物B向下的铅直坐标 yB为广义坐标
则对应的虚位移为
x
A
和y
B
此时除重力外
重物A与台面间的摩擦力 FA 也应视为主动力
首先令 x A 向右 yB 0
此时重物C的虚位移yC xA / 2 方向向下
在解决实际问题时 往往采用第二种方法比较方便
例 3－1
杆OA和AB以铰链相连 O端悬挂于圆柱铰链上
如图所示 杆长OA=a AB=b
杆重和铰链的摩擦都忽略不计
今又试在在求点点 平A衡B和作时B用分一1，别水作2平与用力F向AF下，F的B ，铅F锤之力间F的A和关系FB
解： 系统有两个自由度 现选择 1 和 2 为系统的两个广义坐标 计算其对应的广义力Q1和 Q2 用第一种方法计算：
这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定 它的自由度数为2 一般来讲 一个n个质点组成的质点系 若受到s个完整约束作用 则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的
由这些约束方程
可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的函数
这样该质点系在空间中的位置
就可以用N=3n-s个独立参数完全确定下来 描述质点系在空间中的位置的独立参数 称为广义坐标
主动力所做虚功的和为
WA
FAx A
PCyC
(FA
1 2
PC
)x
A
对应广义坐标 xA 的广义力为
QxA
WA x A
1 2
PC
FA
（a）
再令yB向下 xA 0 同理可解得
QyB
WB xB
1 2
PC
P
因为系统平衡时应有 QxA QyB 0 解得
PC
2P ，FA
1 2 PC
P
因此平衡时 要求物块与台面间静摩擦因数
由于
Q1
FA
y A
1
FB
y B
1
F xB
1
Q2
FA
y A
2
FB
y B
2
F
xB
2
（a）
yA a cos1 ，yB a cos1 b cos2 ，xB a sin1 bsin（2 b）
故
y A
1
a
sin
1
，y B
1
a
sin
1
，xB
1
a cos1
y A
2
0 ，yB
2
b
sin
2
，xB
2
b cos2Βιβλιοθήκη 代入式（a） 系统平衡时应有
解出
Q1 Q2
(FA FB )a sin1 Facos1 FBb sin2 Fbcos2 0
0
tan 1
FA
F
FB
，tan 2
F FB
（c） （d）
用第二种方法计算：
保持 2 不变
只有 1时 如图所示
由式（b）的变分 可得一组虚位移
（b）
f FA 0.5 2P
如果作用在质点系上的主动力都是有势力
则势能应为各点坐标的函数 记为
V V (x1，y1，z1， ，xB，yB，zB ) （3－11）
此时虚功方程（3－6）中各力的投影 都可以写成用势能V表达的形式 即
于是有
Fxi
V xi
，Fyi
V yi
，Fzi
V zi
这样
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi )