二次曲线的线性近似 (不理想结果)
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.
节点 单元
真实的二次曲线
.
.
节点 单元
.
当选择了某种单元类型时，即确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数

形状的选择与结构构形有关。三角形适合于不规则
的形状，而四边形则比较适合于规则形状。

单元阶次的选择与求解域内应力变化的特点有关，
第三章 有限元法应用中的若干问题
有限元模型的建立
单元划分的基本原则
有限元分析过程及位移解的下限性质
应力计算结果的性质和处理
第一节 有限元模型的建立
应用有限元法分析实际问题的目的是方便、快捷的 得到可靠性的结果，其分析过程的有效性和计算结 果的可靠性成为有限元法的两大核心问题。 它涉及到合理的有限元模型的建立，恰当的分析方 案和计算方法的选择以及对计算结果的正确解释和 处理这三个方面。 对一个实际问题进行有限元分析的首要步骤是建立 合理的有限元模型。其中最主要的是单元类型和形 状的选择以及网格的安排和布置。


分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载 荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这 一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论 主要体现在这一过程中。
有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力 法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节 点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选 节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一 部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未 知量为节点力。
2 ）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同， 在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在 位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边 界比较平滑的部位，单元可大。
3 ）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等 参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也 可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节 点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。
2、单元的形状 从单元的几何形状上区别，可以分为一维、二维和 三维单元。

一维单元可以是一直线，也可以是一曲线； 二维单元可以是三角形单元、矩形单元或四边形单元； 三维单元可以是四面体、五面体、长方体或一般的六 面体。 具有轴对称几何形状和轴对称物理性质的三维域能用 二维单元绕对称轴旋转形成的三维环单元进行离散。


有限元位移法计算过程的系统性、规律性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，特
别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。

单元形函数是一种数学函数，提供一种描述单元内部 结果的“形状”，规定了从节点DOF值到单元内所有点
处DOF值的计算方法。
2-D Solid Linear PLANE42 3-D Solid SOLID45 SOLID185 SOLID95 SOLID92 SOLID186 3-D Shell SHELL63 SHELL181 Line Elements LINK1,8,10 BEAM3，4 BEAM188 Quadratic PLANE82 PLANE2 SHELL93 BEAM189

1.1单元类型和形状的选择
1、单元的类型

一般来说，单元类型和形状的选择依赖于结构或总体
求解域的几何特点和方程的类型以及求解所希望的精 度等因素。根据分析对象的物理属性，可选择固体力 学单元、流体力学单元、热传导单元等。 在固体力学单元类型中，还可根据对象的几何特点，

选择二维、三维实体单元，梁、板、壳结构单元等。
由程序自动加密网格，或者提高单元阶次后
进行重分析，直至满足精度要求为止。
2、疏密网格的过渡 在一个实际问题的有限元分析中，不同区域采用疏
密不同的网格经常是必要的。以二维问题的不同疏密
划分的四边形网格为例，通常有以下三种方案。

1）采用形状不规则的单元，此方案的不足是可能单元 形状不好而影响局部的精度； 2）采用三角形单元过渡，其不足是可能因引入不同形 式的单元而带来不便； 3）采用多节点约束方法过渡。

1）对于应力变化激烈的区域局部加密网格进行重
分析。这可以在原网格中进行，也可以将高应力区
截取出来进行网格加密，并将前一次全结构分析的
结果作为边界条件施加在局部加密的网格边界上进 行重分析。后一种方法称为总体——局部分析方法。
2）采用自适应分析方法。即对前一次分析的
结果作出误差估计，如果误差超过规定，再
应力梯度大的区域，单元阶次应较高，否则即使网
格密度很密也很难达到理想的结果。
1.2网格的划分
1.网格疏密的合理布置

在结构内的应力集中区域或应力梯度高的区域应布
置较密的网格，在应力变化平稳的区域可布置较稀
疏的网格。这样可以同时满足精度和效率的要求。 一般情况下，为了使结果达到必要的精度，可以采 取以下一些措施：


第二节 单元划分原则
2.1梁、杆单元划分的原则

两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划
分：
1）杆件的交点一定要选为节点(梯子）； 2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；
3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；
4）集中载荷作用处最好选为节点； 5）欲求位移的点要选为节点；
6）单元长度最好基本相同。
2.2平面单元划分原则
1.单元形状：
常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。 他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形 单元与等参数单元可适应任意边界。 2.划分原则：
1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定， 单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越 大，因此，须根据实际情况而定。
4 ）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。 5 ）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节 点。 6 ）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元 法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。
第三节 有限元分析过程及位移解的下限性质
3.1有限元法分析过程

有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后 处理三大步骤。 对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析 模型，这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶 段，主要包括构造计算对象的几何模型、划分有限 元网格、生成有限元分析的输入数据，这一步是有 限元分析的关键。