1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分）撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。

要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。

1.1 对一维杆单元有限元形式的理解我对此提出了几点疑问：1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一个唯一的近似解？4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。

对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。

当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。

对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出了四个，显然这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。

对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。

由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。

宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。

所以平衡方程本身是矛盾的。

而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。

但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。

但对于方程本身而言是精确解。

对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。

1.2 有限元法的思想有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。

有限元法的基本思想是离散化和分片插值。

即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。

求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。

对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。

单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

1.3 有限元法的数学基础有限元法的数学基础是加权余量法和变分原理。

有限元法区别于有限差分法，即不是直接从问题的微分方程和相应的定解条件出发，而是从其等效的积分形式出发。

加权余量法是等效积分的一般形式，它适用于普遍的方程形式。

利用加权余量法的原理，可以建立多种近似解法，如配点法、最小二乘法、伽辽金法、力矩法等都属于这一类数值方法。

如果问题的方程具有某些特定的性质，则它等效积分形式的伽辽金法可以归结为某个泛函的变分。

相应的近似解实际上是求泛函的驻值问题。

里兹法就是属于这一类数值解法。

1.4 有限元法的力学基础一个弹性系统的所有可能位移中，满足平衡条件的位移（真实位移）使总势能取最小值。

也就是说，弹性力学中平衡问题的正确解（位移），其相应的系统总势能为一切满足位移边界条件和连续条件的位移构型对应的总势能中的最小者。

一个“系统”是指一个结构加上作用其上的力。

对于保守系统，系统总势能定义为：总势能 = 应变能－外力做功系统总势能是对应系统任何一个可能构型的由系统力学状态量（载荷、位移、应力、应变）决定的状态函数。

系统总势能用符号Πp表示，当载荷不变时，运用弹性力学的几何方程和物理方程，可以将它转化为系统位移场函数的泛函。

对于系统每一个“可能位移（场）”，系统有一个总势能（泛函）与之对应。

“可能位移”—— 满足内部连续性和位移边界条件的位移场。

瑞利-里兹法是针对连续系统从一族满足约束条件的假定解中利用泛函驻值条件求“最好”近似解的一种普遍适用方法。

其基本思想是：如果问题有相应的变分原理，就构造一族带有待定参量的试探函数（弹性力学中就是假定位移场），将其代入泛函表达式，泛函立刻成为多元函数，由驻值条件确定待定参量，就得到问题的近似解答。

从经典里兹法解弹性体变形和应力的原理和过程可以总结出该方法的重要特点：1)在求解域整体上假定位移场（试探函数）；2)假定的位移场必须是可能位移（或称为许可位移，即满足连续性和边界几何约束条件）和简单的。

3)要得到收敛解，试探函数必须是完备的。

4)里兹解往往过刚，除非位移试探函数包含了精确解。

由于假定的位移模式往往给结构加上了约束，使结构不能按其要求的方式自由变形，从而刚化了结构。

1.5 有限元法求解的原理和过程，推导计算列式1.5.1 有限元分析的基本步骤有限元法的基本解题步骤如下：1)建立研究对象的近似模型2)将研究对象分割成有限数量的单元3)用标准方法对每一个单元提出一个近似解4)将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统5)用数值方法求解这个近似系统6)计算结果处理与结构验证1.5.2 一维杆的有限元分析下面以一维杆件的分析为例，研究有限元分析的求解原理和过程：图 1-11)单元描述L——杆长A——截面积E ——弹性模量单元上的力学量和基本=关系如下：——杆单元沿轴向位移分布——杆单元应变分布——杆单元应力分布 应变——位移关 (1-1) （1-2）2) 单元特性方程（刚度方程） ① 直接法导出杆单元特性采用材料力学基本知识对单元进行力学分析。

（1-3）（1-4） （1-5）杆内力（1-6） （1-7） 由于轴向变形模式下，可以直接写出杆单元刚度方程：（1-8） 写成符号形式：f = kd （1-9）因此杆单元的刚度矩阵为：（1-10）②公式法导出杆单元特性a)在单元上假设近似位移场对图1-1所示的杆单元，首先利用函数插值法构造以单元节点位移为未知量的简单多项式函数，作为单元上的假设位移分布函数。

插值过程如下。

考虑到杆单元只有2个沿轴向的未知节点位移分量，因此假设单元上位移函数为一次多项式：（1-11）将单元两个节点的坐标值0，L分别带入上式得到：对上面2个方程联立求解，得到节点位移表示的多项式系数：上两式带入式（1-11），整理得：（1-12）i,j的插值基函数，有限元法中称为形状函数，简称“形函数”。

单元位移模式（1-12）写成矩阵形式为（1-13）式中N称为单元的形函数矩阵。

b)单元应变和单元应力公式可由直杆的应变——位移方程（1-1）和单元位移模式（1-13）求出单元的应变分布和节点位移的关系：（1-14）式中：（1-15）由杆的应力——应变关系（1-2），得单元应力分布和单元节点位移的关系：（1-16）c)用虚功原理导出杆单元刚度方程变形体的虚位移：假想在变形体上发生的，满足位移连续性条件和协调性条件的微小、任意位移场。

虚功原理：变形体受力平衡时，若发生虚位移，则外力虚功等于变形体内的虚应变能。

根据虚功原理，上述节点力虚功等于虚应变能，因此有如下关系：(1-17)考虑到的任意性，从上式可以得到：（1-18）上式就是杆单元的刚度方程，杆单元的刚度矩阵为：（1-19）其导出原理和计算方法可以推广到其他类型的实体单元。

具体计算式如下：(1-20)与直接法得到的单元刚度矩阵（1-10）式相同。

1.6 等参单元的概念、原理和应用1.6.1 等参单元的概念及原理由于用较少形状规则的单元离散几何形状较为复杂的求解域常常会遇到困难。

为了克服单元几何方面的限制，使其成为任意四边形和任意六面体单元，就引入了等参元的概念。

等参元也就是运用了等参变换方法的单元，即采用相同的插值函数对单元的节点坐标和节点位移在单元上进行插值。

如图1-2为一个4节点任意四边形单元，单元有8个自由度。

将矩形单元放松为4节点任意四边形单元将带来许多好处。

但在建立单元位移模式时产生了新的问题：单元上没有一个如矩形单元中的简单直接的局部坐标系，而又不能直接用x，y坐标系下的双线性位移模式（位移沿边界二次变化，不协调）。

因此，需要在任意四边形单元上建立一种新的非正交局部坐标系ξ-η（如图1-2），使得每条边有一个局部坐标为常数（±1），则在ξ-η平面内，原任意四边形单元变为一个边长为2的正方形。

同时，该局部坐标系的建立在x-y平面上的任意四边形单元与ξ-η平面上的正方形之间形成了一个一一对应的映射关系。

图1-2 四节点任意四边形单元（a ）及其母单元(b)称ξ-η平面内的正方形单元为基本单元或母单元，x -y 平面内的任意四边形单元称为实际单元或子单元。

显然，母单元节点对应不同的x ，y 坐标就可以得到不同大小、形状和方位的任意四边形实际单元。

建立了局部坐标系或映射后，我们只需要在ξ-η平面上的母单元中描述实际单元的位移模式和力学特性。

任意四边形单元在母单元中的位移模式（或者称为ξ-η坐标系下的位移模式）与矩形单元相同：11223344u N u N u N u N u =+++ 11223344v N v N v N v N v =+++其中，形函数为：1(1)(1)4i i i N ξξηη=++ (i=1,2,3,4) 当然，该位移模式关于x ，y 坐标不是双线性函数，位移沿单元边界线性变化，能保证单元的协调性。

为了得到上述映射的数学表达，引入对母单元节点上x ，y 坐标进行插值的思想，将母单元上每一点对应的x ，y 坐标看成是对节点坐标的插值，插值函数与位移插值中的形函数相同：4141i ii i ii x N x y N y ====∑∑这样就得到了一个事实上的映射，该映射是用母单元描述实际单元力学特性的桥梁。

由于该坐标变换式中采用了与位移插值相同的节点和参数（形函数），因此称为等参变换，所有采用等参变换的单元都称为等参单元。

1.6.2 等参单元的应用等参单元在有限元法的发展中占有重要的地位，由于它能使局部坐标系中形状规则的单元变换为总体坐标系内形状扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题的求解提供了有效的单元形式。