var(εt ) Qt
(11.1.4)
量测方程和状态方程的扰动项的协方差矩阵用 表示
Ω
var
ut εt
Ht 0
0 Qt
3
量测方程中的矩阵 Zt , dt , Ht 与转移方程中的矩阵 Tt , ct , Rt , Qt 统称为系统矩阵。如不特殊指出，它们都 被假定为非随机的。因此，尽管它们能随时间改变， 但是都是可以预先确定的。对于任一时刻 t，yt 能够被
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例11.3 变参数模型 由于各种各样的外界冲击和政策变化等因素的影响，经济 结构不断发生变化，用OLS等固定参数模型：
yt xt β ut ， t 1, 2 , , T
表现不出来这种经济结构的变化，因此，需要考虑采用变参数 模型(Time-varying Parameter Model)。下面利用状态空间模型 来构造变参数模型。
量测方程： 状态方程：
yt xt βt ztγ ut βt βt1 εt
(u
t
,
εt
)～
N
0 0
,
0
2
0 Q
,
t 1, 2 , , T
8
xt 是具有随机系数 t 的解释变量的集合，zt 是有固 定系数 的解释变量集合，随机系数向量 t 是对应于 (11.1.1)中的状态向量，称为可变参数。变参数 t 是不可
第十一章 状态空间模型和卡尔曼滤波
State Space Models and Kalman Filter
上世纪60年代初，由于工程控制领域的需要，产生了卡 尔曼滤波 (Kalman Filtering)。进入70年代初，人们明确提出 了状态空间模型的标准形式，并开始将其应用到经济领域。 80年代以后，状态空间模型已成为一种有力的建模工具。许 多时间序列模型，包括典型的线性回归模型和ARIMA模型都 能作为特例写成状态空间的形式，并估计参数值。在计量经 济学文献中，状态空间模型被用来估计不可观测的时间变量： 理性预期，测量误差，长期收入，不可观测因素（趋势和循 环要素）。状态空间模型在经济计量学领域其他方面的大量 应用请参见 Harvey（1989）和 Hamilton（1994） 。
当一个模型被表示成状态空间形式就可以对其应用 一些重要的算法求解。这些算法的核心是Kalman滤波。 Kalman滤波是在时刻 t 基于所有可得到的信息计算状态 向量的最理想的递推过程。Kalman滤波的主要作用是： 当扰动项和初始状态向量服从正态分布时，能够通过预测 误差分解计算似然函数，从而可以对模型中的所有未知参 数进行估计，并且当新的观测值一旦得到，就可以利用 Kalman滤波连续地修正状态向量的估计。
1
§11.1 状态空间模型的定义
状态空间模型一般应用于多变量时间序列。设 yt 是包含 k 个经济变量的 k1 维可观测向量。这些变量与 m1 维向
量 t 有关，t 被称为状态向量。定义“量测方程”
(measurement equation) 或称“信号方程”(signal equation)
为
yt Ztαt dt ut , t 1, 2，,T
(11.1.1)
其中：T 表示样本长度，Zt 表示 km 矩阵，称为量测矩阵，
dt 表示 k1 向量，ut 表示 k1 向量，是均值为0，协方差矩
阵为
Ht
的连续的不相关扰动项，即
E(ut ) 0 var(ut
)
Ht
(11.1.2)
2
一般地，t 的元素是不可观测的，然而可表示成一阶马
尔可夫(Markov)过程。下面定义转移方程(transition equation)
量测方程： yt (1, 0) t
(11.1.10)
状态方程：
t
0 0
1 0
t
1
1
t
(11.1.11)
这种形式的特点是不存在量测方程噪声。
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例11.2 二阶自回归模型AR(2)
yt 1 yt1 2 yt2 ut , t 1, 2 , , T (11.1.14)
其中：E(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut-s) = 0, 考虑两个可能的
观测变量，必须利用可观测变量 yt 和 xt 来估计。假定变
参数 t 的变动服从于AR(1) 模型（也可以简单地扩展为 AR(p) 模型），扰动向量 ut , t 假定为相互独立的，且服 从均值为0，方差为 2和协方差矩阵为 Q 的正态分布。
9
§11.2 卡尔曼滤波 (Kalman Filtering )
表示为当前的和过去的 ut 和 t 及初始向量 0 的线性组
合，所以模型是线性的。
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例11.1 一阶移动平均模型MA(1)
yt t t1 ， t 1, 2 , , T
(11.1.9)
其中：E(t )=0，var(t)= 2，cov(t , t-s)=0, 通过定义状态向量 t =( yt ,t )可以写成状态空间形式
在例11.1的MA(1)模型中的参数 { , 2} 和例11.2的AR(2)模 型中的参数 { 1， 2， 2} 是未知的，这些参数将通过 向
量表示，并被称为超参数（hyperparameters）。超参数确定 了模型的随机性质，在 ct 和 dt 中出现的参数仅影响确定性的 可观测变量和状态的期望值。在状态空间模型中可以引入外 生变量作为解释变量，也可以引入 yt 的延迟变量，这些都可 以放到 dt 中去。如果 ct 或 dt 是未知参数的一个线性函数，这 些未知参数也可以作为状态变量或者超参数的一部分元素。
或称状态方程(state equation)为
αt Ttαt1 ct Rtεt , t 1, 2，,T (11.1.3)
其中：Tt 表示 mm 矩阵，称为状态矩阵，ct 表示 m1 向量，
Rt 表示 mg 矩阵，t 表示 g1 向量，是均值为0，协方差矩阵
为 Qt 的连续的不相关扰动项，即
E(εt ) 0
状态空间形式( k=1, m=2 )是
yt (1, 0)αt
(11.1.15)
αt
2
yt yt
1
12
换一种形式
yt (1, 0)αt
01αt
1
10
ut
αt
yt yt
1
11
2
0
αt1
1
0
ut
(11.1.16)
(11.1.17)
6
系统矩阵 Zt ，Ht ，Tt ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt ，Qt 可以依赖于一个未知参数 的集合。状态空间模型的一个主要的任务就是估计这些参数，