16

t
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一、力矩 力: 改变质点的运动状态,质点获得加速度。 力矩： 改变刚体的转动状态,刚体获得角加速度。 1. 力 F 对z 轴的力矩 (力F 在垂直于轴的平面内)
z
r
A
M z ( F ) Fr sin Fh Fτ r
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第5章 刚体力学基础 动量矩
三、转动惯量 单个质点
J mr
2
2
刚体质量不连续分布 J 刚体质量连续分布
确定转动惯量的三个要素: (1) 总质量； (2) 质量分布； (3) 转轴的位置。
m r 2 J r dm
i
i i
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第5章 刚体力学基础 动量矩
1. J 与刚体的总质量有关 例如, 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
1 2 J L / 2x dx ML 12
L/2 2
M
O dx
L x
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第5章 刚体力学基础 动量矩
4. 平行轴定理
z'
z M L C
J z' J z ML
2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量；
J z 刚体绕通过质心的轴的转动惯量；
L
两轴间垂直距离。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
75π N 37.5 圈 2π 2π
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第5章 刚体力学基础 动量矩
(2) t = 6 s 时的角速度：
0 t 4π rad/s
飞轮边缘上一点 线速度：
v r 2.5m/s
2
切向加速度：a r 0.105m s
2 2
法向加速度：an v / r r 31.6m s
第5章 刚体力学基础 动量矩
第5章 刚体力学基础动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
1
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动
一、刚体的概念 在力的作用下, 物体的大小和形状都保持不 变，称为刚体。 刚体是特殊的质点系, 是理想化物理模型。 二、刚体的平动和定轴转动 1. 刚体的平动 刚体运动时,在刚体内所作的任一条直线都 始终保持和自身平行。
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力 矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 — 刚体绕定轴转动微分方程，或转动定律。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
讨论 (1) 转动定律与牛顿第二定律比较：
M J 、 ma F M F , J m, a
两个定律在形式上对应, 都是反映瞬时效 应的。 d dv M J J F ma m dt dt (2) m反映质点的平动惯性，J 则反映刚 体的转动惯性。
2
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体的平面运动
刚体的平动可归结为质点运动。 刚体的一般运动可看作：
都相同。 特点: 各点运动状态一样，如： 、a v
随质心的平动 + 绕质心的转动的合成。
3
第5章 刚体力学基础 动量矩
转动：分定轴转动和非定轴转动.
4
第5章 刚体力学基础 动量矩
2. 刚体的定轴转动 刚体内各点都绕同一直线 (转轴)作圆周运动,而刚体转动 时, 转轴固定不动。 描述刚体绕定轴转动的角量 角坐标 (t ) 角位移 d 角速度 dt 2 d d 角加速度 2 dt dt P
0
m
r
半径、质量相同时 J 环 J 盘 1 2 实心圆柱对其轴的转动惯量也是 J mR

R
0
2m 3 m 2 r dr R 2 R 2
O
2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
3. J 与转轴的位置有关
z
dm = dx
M L dx x
J 0
L
1 2 2 x dx ML 3
O
z
z


5
第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体定轴转动的特点：
(1)刚体上每一质点均作圆周 运动，运动圆面为转动平面；
z

(2) 任一质点运动的角量 , P 相同。 ,
由于

v r an r
2
dv a r dt
离转轴不同距离质点的线量 v, a 不同。
6
2π 150 1 解： 5π rad s （1） 0 60 - 0 0 5π π 2 rad s t 30 6
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第5章 刚体力学基础 动量矩
飞轮在30s内转过的角度为：
- 75π rad 2
2 2 0
飞轮在30s内转过的圈数为：
其中
F r
k k k
M z 称为合外力矩 ； 0 内力矩之和为零；
f r
k
k
J z mk rk2，称为刚体对z轴的转动惯量。 令
则
J z M z
或
d Jz Mz dt
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第5章 刚体力学基础 动量矩
d Jz Mz dt
M z J z
刚体绕定轴转动时，刚体对该轴的转动惯量 与角加速度的乘积等于作用在刚体上所有外 力对该轴力矩的代数和。
J 0 R dm
L 2
dl
m R O
R 0 dm 2 mR
2 m
若为半径相同的木环和铁环，因为 m铁 m木 所以
J铁 J木
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J 是可加的,若为薄圆筒(不计厚度)表达式相同 。
第5章 刚体力学基础 动量矩
2. J 与质量分布有关 例如 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量。
m 2mr dm ds 2 2πrdr 2 dr πR R m R 2 J r dm dr
m1
m1 g
0 t m1 m2 gt 联立各式 1 解得： m1 m2 m r 2
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第5章 刚体力学基础 动量矩
例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一 端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平 面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小 扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。 l /2 l 求:它由此下摆角 时的 角加速度。 P
O
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第5章 刚体力学基础 动量矩
解: 棒下摆为加速过程, 外力矩 为重力对O的力矩。重力作用在 棒重心, 当棒处在下摆 角时, 重 力矩大小为： 1 M mgl sin J 2
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匀变速转动
第5章 刚体力学基础 动量矩
4. 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动, 且 ， 都相同。 z ω,
v
角量与线量关系
v r
an r
2
O
刚体
rM M θ
dv a r dt
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第5章 刚体力学基础 动量矩
刚体作定轴转动时, 角速度与角加速度的方向
rad/s
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第5章 刚体力学基础 动量矩
由角速度的定义：
d π 2 t rad s 1 d t 150
得到： d π t 2d t 150 0 0 π 3 t rad 450 转子300s内转过的圈数： π 3 300 3 104圈 N 2π 2π 450
ω1 ω2
Δω< 0 α< 0
Δω< 0 α< 0
加速转动
加速转动
减速转动
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角加速度α与角速度ω同号时加速
第5章 刚体力学基础 动量矩
例1一飞轮的半径为 0.2m, 转速为150转／分 , 经30s均匀减速后停止。 求: (1)角加速度和飞轮转的圈数。 (2) t = 6s时的角速度;飞轮边缘上一点的线 速度、切向加速度和法向加速度。
O .
大小
F
方向由右螺旋法则确定。
r
θ
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第5章 刚体力学基础 动量矩
力对定轴力矩的矢量形式
z
F//
M Z r F
方向由右螺旋法则确定。
F
r
A
F
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第5章 刚体力学基础 动量矩
二、刚体绕定轴转动微分方程 作用在 mk上的外力 Fk ，内力 f k dvk mk Fk f k dt 在圆轨迹切线方向
求:滑轮转动角速度随时间 变化的规律。
m2
m r
m1
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第5章 刚体力学基础 动量矩
解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析 m1：m1 g T1 m1a1
m2：

m r
T1 T1
T2 m2 g m2a2
T2
T2 m2 m2 g
1 2 滑轮 m：T1r T2 r J mr 2 a1 a2 a r
角速度ω 的方向由右手定则确定。 规定： 逆时针转动,θ > 0, ω沿转轴向上,ω > 0 。 顺时针转动,θ < 0, ω沿转轴向下,ω < 0 。
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第5章 刚体力学基础 动量矩
角加速度α的方向用正负表示。 设ω1 ,ω2 同向，Δω= ω2 -ω1 。
ω2 ω1
Δω > 0 α> 0
ω1 ω2
第5章 刚体力学基础 动量矩
3. 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动
刚体绕定轴转动时，若 常 , 0， 数 刚体绕定轴匀速转动。 若 常数 ，刚体绕定轴的匀变速转动。 匀速转动