南京航空航天大学结构力学课后习题答案第2章第二章薄板的弯曲2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。

OA为简支边，并作用有分布的弯矩M。

BC边为固支边，OC边为简支边。

AB边为自边。

解：OA边：wx?0?0；Mx MyOC边：wy?0?0；x?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2??M?x?yx?0?xx?0?0y?0y?0?2w?2w?2w??D(2?u2)??D2?y?xy? 0?y ?wBC边：wx?a?0；?0 ?xx?aAB边：My?2w?2w??D(2?u2)?0 ?y?xy?b?M yx?x)y?by?b(Qy??3w?3w??D[3?(2?u)2]?0 ?y?x? yy?b 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自边，在点B受向下的横向集中力P。

试证w?mxy可作为该薄板的解答，并确定常数m、内力及边界处反力。

解：w?mxy满足平衡微分方程?4w?q/D?0 OC边上：wy?0?2w?2w?0；?D(2?u2)＝0 ?y?xy?0OA边上：wx?0?2w?2w?0；?D(2?u2)＝0 ?x?yx?0?2w?2w?3w?3w?0；?D[3?(2?u)2]?0 AB边上：?D(2?u2)?y?xy?b?y?x?yy?b?2w?2w? 3w?3wBC边上：?D(2?u2)?0；?D[3?(2?u)]?0 ?x?yx?a?x?x?y2x?a?2w)??2D(1?u)m?? P 在B点上：?2D(1?u)(?x?yx?a,y?b ?m?P 2D(1?u)所以w?Pxy 2D(1?u)?2w?2w?2w?2wMx??D(2?u2)?0；My??D(2?u2)?0；?y?x?x?yMxy??? 2wPQx??D?2w?0；Qy??D?2w?0 ??D(1?u)?? ；?x?y?x? y2?2wRA??2D(1?u)()??P?RC；RO?P ?x?yA 2-3 如图2-3所示，半椭圆形薄板，直线边界为ACB 为xx2y2固支边，承受横向载荷q=q0。

试证w?mx(2?2?1)2可作为解答，求出常数aabm，最大挠度和点的弯矩。

x4y4x2y2x2y2解：w?mx(4?4?222?22?22?1)ababab?4wmx?120?x4a4?4wmx?24?y4b42?4w?x?y?48mx22a2 b2将式代入薄板的挠度方程D?4w?q 即D?4w?mD(120xa4?48xa2b2?24xb4)?q?qx0aqxm?024D(5a21a4?a2b2?b4) ?q0a 3a2a424D(5?2b2?b4)w?q0a3xx2y2(2?2?1)224D(5?2a2a4abb2?b4)求最大挠度：根据对称性可知最大挠度必在y?0上，代入下式?w5x4?x?m(y4ab?6x2y2x2y24?4 a2b2?6a2?2b2?1)?0?w32?y?mx(4yxyyb4? 4a2b2?4b4)?0则有?w?m(5x4x2?xy?0a4?6a 2?1)?0?w?yy?0?0 式可解出a22x?,x?a2 52即x?5a及x?a 5显然在x?5a处使得w取最大值为5wmax?m51(?1)2a55 25q0a4?a2a4375(5?22?4)Dbb根据公式弯矩?2w?2wMx??D(2??2) ?x?y 而?2w20x3xy2x?m(?12?12) 24222?xaaba?2w12xy24x34x?m(4?22?2) 2?ybabb ?Mx60x212y21212y212x24 ??D[4?22?2]??(4?22?2)m?0 ?xaabaaabb? Mxxyxy??D[2422?24?4]?0 ?yabb及对称性，可知在y?0,x?a(3?153?)(??)处2222abab4124??20(Mx)x????Dm?(4??22) ?3?(2??2)?? abab?a?其中??a(3?153?)(??)。

a2b2a2b2而Mx在C 点，即x?a,y?0处的值为?2012?(Mx)C??Dm????aa? ?q0a2 ?a2a43(5?22?4)bb2-4 有一矩形薄板，边长为a和b。

若其挠度函数为w=Cxy(a-x)(b-y)，求该薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。

解：?w?Cxy(a?x)(b?y)?Cabxy?Caxy2?Cb x2y?Cx2y2 ??w?Caby?Cay2?2Cbx y?2Cxy2；?x?w?Cabx?2Caxy?Cbx2?2C x2y；?y?2w?2w2??2Cby?2Cy；2??2Cax?2Cx2；2?x?y?4w?4w?4w?4C；4?0；4?0 22?x?x?x?y ?4w?q/D?2?4C?q/D?q? 8CD x?0时：wx?0?0；?w?x?0不是固支边，是简支边x?0 (Mx)x?0?2w??D2?2CD(y2?by)?Mx?xx?0?w?x?0不是固支边，是简支边x?ax?a时：wx?a?0；(Mx)x?a?2w??D2?2CDy(b?y)?Mx ? xx?a?w?y?0不是固支边，是简支边y?0y?0时：wy?0?0；(My)y?0?2w??D2?y?w?y?2CDx(a?x)?My y?0y?b时：wy?b?0；?0不是固支边，是简支边y?b (My)y?b?2w??D2?y?2CDx(a?x)?Myy?b2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷P，试求最大挠度。

解：具体求解过程参照教材P52?P55。

针对边长为a的四边简支正方形薄板在板中点受横向载荷P。

最大挠度为wmax4P?42?Da?4Pa?4D2a4??222m?1n?1 (m?n)????1??222m?1n?1(m?n) 精度取决于取多小项。

当取m?n?1时，最大挠度为wmax?/D 2-6四边简支矩形薄板，边长为a和b，受横向分布载荷q?q0sin试证挠度函数w?msin 置。

解：挠度函数w?msin?xasin?yb，?xasin?yb是该板的解。

并求最大挠度、最大弯矩及其位?xasin?yb满足四边简支的边界条件。

即?2w在x?0,x?a处，w?0,2?0 ?x?2w在y?0,y?a处，w?0,2?0 ?y 于?4w?4?x?y?msinsin?x4a4ab?4w? 4?x?y?msinsin?y4b4ab?4w?4?x?y?msinsi n2222?xyabab所以?4w?( 1214?x?y??)?msinsin 4224aabbabq0?x?y?sinsinDabq0121??)?a4a2b2b4D?m?4(q0a4 ?m?4222?(1?ab)D 则挠度函数为q0a4?x?y w?4sinsin?(1?a2b2)2Dab在x?a/2,y?b/2处，挠度取得最大值wmax弯矩q0a4 ?4?(1?a2b2)2D?2w?2w?2?2?x?yMx? ?D(2??2)?Dm[2??2]sinsin?x?yababMy?? D(?w?w???x?y??)?Dm[??]sinsin2222?y?x baab2222 在x?a/2,y?b/2处，弯矩取得最大值(Mx)maxq0a2(1??a2b2)?2?(1?a2b2)2(My) maxq0a4(1??b2a2) ?22222?b(1?ab) 2-7 如图2-7，四边简支矩形薄板上作用有三角形分布载荷，即p(x,y)?q0xa 试用双重三角级数方法求挠度函数。

解：薄板弯曲的基本微分方程为D?4w?p(,xy)边界条件是在x?0和x?a处，w?0,?2w?x2?0在y?0和y?b处，w?0,?w?y?0挠度用双重三角级数表示为w???Amnsinm?1n?1??22m?xn?y sinab其中m和n是任意整数，Amn为待定系数。

显然,(3)式满足式所述的全部边界条件。

将式代入式，得?m2n2?m?xn?y4?D???2?2?Amnsinsindxdy?p(x,y)ababm?1n?1????2为了求出系数Amn，必须先将式右端的载荷展开成与左端同样的双重三角级数形式p(x,y)???Cmnsinm?1n?1??m?xn?y sinabi?x，其中i为任意正整数。

然a先求出系数Cmn。

将式的左右两端都乘以sin后对x积分，积分限从0到a，并注意a?sin0(m?i)?0m?xi?x sindx??aa?a2(m?i)得到i?xa?n?y p(x,y)sindx?Csin?in?a2n?1b0再将上式两端都乘以sin从0到b，得到baaj?y，其中j也是任意正整数。

然后对y积分，积分限b??p(x,y)sin00i?xj?yabsindxdy?Cij ab4因为i和j是任意整数，故可以改写为m 和n。

所以从上式可得Cmn4m?xn?y?p(x,y)sinsindxdyab??ab00?2ab将式代入式，得?m2n2?m?xn?y4?D???2?2?Amns insindxdyb?abm?1n?1?a ??m?xn?y???Cm nsinsinabm?1n?1?两个相同的级数要相等，必须使相应项的系数都相等，从而得ab Amn?4??p(x,y)sin00m?xn?ysindxdyab222 ?4Dab?将p(x,y)?q0xa代入上式。

?mn??2?2b??a m?xn?ym?xn?yp(x,y)sinsindxdy?qxasinsin dxdy0????abab0000?2bn?yb??sindy?[1?c osn?]??n?bn?0??0babab(n为奇数) ab??q0xasin00am?xn?ysindxdyabm?x2bd x?an?(n为奇数)??q0xasin0 (n为奇数)(n为奇数)=2bq0??acosm??mn?2(?1)m?12abq0? mn?2(?1)m?18q0将式代入式得到系数Amn??mn??22?ab??222?6 Dmn?将式代入式得到挠度函数8qw?06D?(?1)m?1m?xn?ysinsin ??22mna bm?1n?1,3,5mn(2?2)2ab??2-8 已知圆形薄板的挠度方程为w?C[(5??)a4?2(3??)a2r2?(1??)r4] 式中a是板的半径，C是常数。

试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什么样的载荷？并求出板的弯矩方程式。

解：因为挠度方程只是关于r的函数，故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。

(w)r?a?C[(5??)a4?2(3??)a2a2?(1??)a]4?C[(5??)a4?(6?1??)a4]?0((1) dw)r?a?C[?4(3??)a3?4(1??)a3](2) dr??8Ca3d2w(2)r?a?C[?4(3??)a2?12(1??)a 2](3) dr?8?Ca3(Mr)r?ad2w?dw??D[2?]drrdr??D[8?Ca2?? 0?a8Ca2](4) 式、式(wr)r?a?0,(Mr)r的边界条件为简支边。