§8.2简单几何体的表面积与体积
2014高考会这样考 1.与三视图相结合，考查几何体的表面积、体积；2.作为解答题中的某一问，与空间线面关系相结合考查几何体体积的计算．
复习备考要这样做 1.熟记公式，理解公式的意义；2.结合几何体的结构特征，运用公式解决一些计算问题．
2.几何体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧
面积与底面面积之和．
[难点正本疑点清源]
1．几何体的侧面积和全面积
几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形，则可用矩形面积公式求解．再如圆锥侧面展开图为扇形，此扇形的特点是半径为圆锥的母线长，圆弧长等于底面的周长，利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小．
2．等积法
等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
1．圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是________． 2．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m 3.
3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________． 4．一个球与一个正方体的各个面均相切，正方体的边长为a ，则球的表面积为________．
5.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1B 1上一点，
且PB 1＝1
4
A 1
B 1，则多面体P —BB 1
C 1C 的体积为________．
题型一 简单几何体的表面积
例1 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
( )
A ．48
B ．32＋817
C ．48＋817
D ．80
一个几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是
________cm 2.
题型二简单几何体的体积
例2如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体
ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF
的体积．
(2012·课标全国)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()
A.
2
6 B.
3
6 C.
2
3 D.
2
2
题型三几何体的展开与折叠问题
例3(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交
于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，
则以A、B、C、D、O为顶点的四面体的体积为________．
(2)有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，
并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.
如图，已知一个多面体的平面展开图由一边长为1的正
方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_______．
转化思想在立体几何计算中的应用
典例：(12分)如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的
等边三角形，AA′＝4，M为AA′的中点，P是BC上一点，且由P
沿棱柱侧面经过棱CC′到M的最短路线长为29，设这条最短路线与
CC′的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC与NC的长；
(3)三棱锥C—MNP的体积．
方法与技巧
1．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．
2．要注意将空间问题转化为平面问题．
3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．
失误与防范
1．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．
2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·课标全国)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
( )
A ．6
B ．9
C ．12
D ．18
2 . 已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则
三棱锥B ′—ABC 的体积为( )
A.1
4
B.12
C.
36
D.34 3．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为
( )
A ．48(3＋3)
B ．48(3＋23)
C ．24(6＋2)
D ．144
4．(2012·北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 ( )
A ．28＋6 5
B ．30＋6 5
C ．56＋12 5
D ．60＋12 5
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．(2012·山东)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．
6．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
7．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题(共22分)
8．(10分)如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
9．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )
A.3
2
π B ．π＋3
C.3
2
π＋ 3
D.5
2
π＋ 3 2．在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD,2AB ＝3CD ，M 为AE 的中点，设E —ABCD 的体积为V ，那么三棱锥M —EBC 的体积为
( )
A.25V
B.13V
C.23V
D.310V 3．(2011·辽宁)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC
＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为
( )
A ．3 3
B ．2 3
C. 3
D ．1
二、填空题(每小题5分，共15分)
4.如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2 cm ，高为5 cm ，则
一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线 的长为______ cm.
5．已知一个几何体是由上、下两部分构成的组合体，其三视图如图所示，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是________．
6．(2012·上海)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．
三、解答题
7．(13分)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D—ABC，如图2所示．
图1图2
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D—ABC的体积．。