用图象法解“相遇”问题
某某 邓有鸿
v-t 图象运用数学的“形”载着物理的“质”，是一种形象直观的“语言”。

利用v-t 图象分析物理问题思路更清晰，可使分析过程更巧妙、更灵活。

但是不少同学在刚开始利用v-t 图象处理问题时，经常看不透图象所表达的物理意义，将图线与物体的运动轨迹相混淆。

以至于不能实现运用图象解题的目的。

下面来看两道例题，请你从中体会图像法的特点和妙用。

例l. 如1图所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 1，加速度a 1做匀加速运动，乙以初速度为零，加速度a 2做匀加速运动，下述情况可能发生的是（假定甲能从乙旁边通过互不影响）（ ）
A. 若21a a =，则能相遇一次
B. 若21a a >，则能相遇两次
C. 若21a a <，则可能相遇一次
D. 若21a a <，则可能相遇二次 解析：我们画出满足题意的t v -图象。

两物体相遇的条件是在开始运动到某一时刻的时间段内，甲图线与时间轴所夹的面积甲S 和乙图线与时间轴所夹的面积乙S 满足关系s S S +=乙甲。

图A 对应21a a =的情况：两条图线平行，一定存在唯一的1t 时刻，使阴影部分面积为s 。

即在1t t =时相遇一次，A 对。

图B 对应21a a >的情况：甲图线的斜率大于乙图线的斜率，一定存在唯一的2t 时刻，
阴影部分面积为s 。

即两物体仅在2t t =时相遇一次，B 错。

图C 对应a 1<a 2的情况：若在两条图线的交点对应的时刻t 3两物体相遇（速度相等），即图中△AOC 面积为s ，则仅相遇一次。

若△AOC 的面积小于s ，则甲、乙不可能相遇。

若图中阴影部分面积大于s ，则可能相遇两次。

如图C ，图中四边形ABEO 的面积等于S ，在0~t 4时间内，甲在后乙在前，v 甲>v 乙，甲追赶乙，距离逐渐减小，在t 4时刻甲、乙相遇。

在t 4~t 3时间内，甲在前乙在后，二者距离越来越远。

t 3~t 5时间内，仍是甲在前乙在后，但v 甲<v 乙，乙追甲，距离又逐渐减小，到t 5时刻甲、乙再次相遇。

此后，乙在前甲在后，v 甲<v 乙，两者距离一直变大，不可能再相遇。

图中S △BCE 为第一次相遇后到两者速度相等时，甲超过乙的距离，S △FCD 为从t 3起乙追上甲的距离。

显然，S △BCE =S △FCD 。

由上可见A 、C 、D 均正确。

如果物体做折线运动，因其各部分分别也是直线运动，因此在只考虑速率变化的时候我们可以画出速率—时间图象帮助解题，图中每段折线的斜率表示加速度大小，与时间轴所夹面积表示路程。

请看下面的例题。

例2. 如图3所示，在竖直平面内，两个质量完全一样的小球，从A 分别沿光滑的矩形轨道a 管和b 管由静止滑下，设两种方式到达C 点时的速率相同，且四段直线运动的加速度大小满足BC AD DC AB a a a a =<=，若B 、D 两点在同一水平线上，试比较两球用时的长短。

解析：沿a 管滑下的小球，由于a AB <a BC ，则在速率图中AB 段图线的斜率比BC 段图
线斜率小；沿b 管滑下的小球，由于a DC <a AD ，它的速率图线在AD 段斜率（与BC 段相等）比DC 段斜率（与AB 段相等）大。

由于两球滑到底端时速率相同，两球的速率图象如图4所示。

显然两球的路程相等，即在速率—时间图象中两条速率图线与各自相应时间轴所围“面积”应相等，因此必有t a >t b 。