矩阵可对角化的判定条件开题报告
开题报告
矩阵可对角化的判定条件
选题的背景、意义
矩阵最初是作为研究代数学的一种工具提出的,但是经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支?矩阵论。

矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。

矩阵及其理论现已应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领域。

如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、计算机层析及 X 射线照相术等方面都有广泛的应用。

随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。

于是作为处理离散问题的线性代数和矩阵计算,成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。

矩阵是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,在其他学科中也经常遇到。

它在二十世纪得到飞速发展,成为在物理学、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支,现在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。

矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多。

但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结。

因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论
进行应用和举例,给出算法。

特别给出了解题时方法的选择。

矩阵的应用在现代社会中是十分广泛的,本文围绕有限维线性空间上的线性变换对角化问题与矩阵可对角化相互转换进行研究.根据矩阵的多项式对矩阵对角化问题进行判断,这种方法不仅为探讨矩阵对角化提供了一个简便的工具,也把矩阵和有限维空间相结合.在现代科技中,很多问题都是运用此类方式。

矩阵对角化问题只是矩阵理论中的一个小问题,但是一个基础问题,这样矩阵可对角化作为矩阵理论里的最基础的知识,就显得格外的重要.通过对《高等代数》,《科学计算方法》等有关资料的查阅和分析研究,为我们对判定矩阵的可对角化的条件提供了相关依据和理论.
文献[1]和[2]介绍了广义逆矩阵和一类特殊矩阵可对角化的判定条件,利用子空间关于矩阵的最小多项式研究了矩阵可广义对角化的充要条件,给出了一种更简单的判别仅有两个互异特征根的矩阵与对角阵相似以及求特征向量的方法。

文献[3]总结了利用循回阵的性质找出一个矩阵可对角化的充要条件。

任意阶矩阵可以对角化的充要条件是相似于一个阶循回阵, 形式最简单的矩阵是对角阵。

矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,但不是任何一个阶矩阵都可以对角化。

文献[4]总结了对矩阵的计算中用到了对角化的性质。

该文详细地分析了Doolittle LU分解过程,基于分解过程的特点,在MPI(Message-Passing interface)并行环境下,提出了按直角式循环对进程进行任务分配的并行求解方法。

实验证明该方法可以有效地减少进程间数据通信量,从而加快计算速度。

文献[5]?[7] 阐述了矩阵可对角化的条件以及对实对称矩阵的可对角化,
从幂等阵及可交换阵的性质出发,讨论了矩阵可对角化的条件,并给出了矩阵只有两个特征值的特殊情况下可对角化的一种简单判别方法。

矩阵可对角化在求矩阵的高次幂中有重要应用,矩阵的对角化有多种判别方法,定义了分块矩阵的初等变换与初等分块矩阵,给出了非满秩情况下分块矩阵可以对角化的条件。

文献[8]-[11]在以往关于矩阵可对角化的判定条件的基础上,利用矩阵可以对角化的判定,以及求矩阵的线性无关的特征向量完全可以归纳为矩阵乘法的原理,使得矩阵的特征值与特征向量同步求解,从而得出矩阵可对角化更为直接的简单判定,通过讨论n阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程,在研究实矩阵三角化计算方法的基础上给出了复系数矩阵上双对角化的一种通用计算方法,以及方阵的另一种解释。

文献[12]?[15]作者引入了线性变换可亚对角化的定义,并给出了线性变换可亚对角化的充要条件,对多判定条件加以改进,得出更为直接的简单判定对角化的条件。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题
本文研究的基本内容为:
一、引言,主要包括课题研究的背景、研究意义等。

二、特殊矩阵的可对角化,包括方阵,单位矩阵,广义逆矩阵,实对称矩阵等等的求法。

三、n阶矩阵的可对角化,包括求特征值,特征向量,n阶矩阵最小多项式的算法。

四、矩阵的分解,包括LU分解,Doolittle分解和Crout分解型,
运用矩阵分析的相关知识,可以很好分析可对角化的思路,有助于提高判
定的有利条件和提高解题的速度。

具备一定的专业外语知识和一定的计算方法能力,同时,具备一定的求解能力,能够运用数学软件,例如:Matalab等软件,对矩阵可对角化进行求解分析。

三、研究的方法与技术路线、研究难点,预期达到的目标
一、先采用文献研究法,搜集和阅读大量的相关文献,了解国内外的研究现状,吸收新理念,并对资料进行分类整理。

再通过实例分析,对实际矩阵进行分析、总结特殊矩阵的判定方法。

二、研究的主要难点,如何找到恰当的方法,如何选择最简单的计算步骤对矩阵进行可对角化的判定,并求解。

三、预期达到的目标,通过本课题的研究,学习用求特征值和特征向量的基本方法对矩阵进行处理,将其矩阵对角化的思想应用于实际,能够对大数据进行合理分解与计算,提高对矩阵对角化的分析判断能力。

四、论文详细工作进度和安排
第七学期第10周至第11周:收集资料,阅读相关文献,形成系统材料,完成文献综述;翻译相关问题的外文文献。

第七学期第12周至第14周:深入分析问题,建立研究和解决问题的基本方案和技术路线,撰写开题报告,修改定稿,签署意见;上交文献综述、开题报告,外文翻译。

第七学期第15周至第16周:全面开展课题研究,按照研究方案和路线指导学生撰写论文,完成论文初稿。

第八学期第1周至第8周:在导师的指导下,对论文进行第一次修改。

第八学期第9周至第12周:对论文进行第二次修改,并完善定稿。

第八学期第13周至第15周:做好毕业论文答辩准备事项,进行答辩。

五、主要参考文献
[1] 王新哲,蒋艳杰. 矩阵广义对角化的探讨[J]. 大学数学,2009,4:140-144.
[2] 张力宏,辛大伟.一类特殊矩阵可对角化的判别及特征向量的求法[J]. 大学数学, 2008,(4):134-136.
[3] 曲春平.矩阵可对角化的充分必要条件[J] .辽宁省交通高等专科学校学报,2003,(3):50-51.
[4] 黄明游,刘播,徐涛.数值计算方法[M] .北京:科学出版社,2005.
[5] 丘维声.高等代数(上)[M] .北京:清华大学出版社,2005.
[6] 贺福利,万小刚,许德云.关于矩阵可对角化的几个条件[J] .高等函授学报,2004,(1):14-16.
[7] 李大林.分块矩阵的对角化方法[J] .柳州职业技术学院学报,2002,(2):64-67.
[8] 朱靖红,朱永生.矩阵对角化的相关问题[J] .辽宁师范大学学报,2005,(3):383-384.
[9] 王治萍.试论n阶方阵的可对角化问题[J] .高等教育与学术研究,2009, 12 :158-160.
[10] 高英.复系数矩阵的双对角化方法[J] .高校讲坛,2009, 23:548.
[11] 辛向军,吕红杰.谈谈方阵的对角化教学[J] .四川教育学院学报,2009,1:115-116.
[12] 周仲旺.线性变换可亚对角化的充要条件[J] .潍坊学院学报,2001,(2):15-17.
[13] 向大晶.矩阵可对角化的简单判定[J] .数学通报,2000, 3:27-29.
[14] Peter D Lax. Linear algebra and its applications[M] :Wiley.c , 1997.
[15] Roger A. Horn,Charles R. Johnson. Matrix Analysis[M] :Wiley-VCH, 2005.。