2021届高三一轮复习模拟考试理 科 数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|02}P x x =≤≤，集合2{|34}Q x x x =+<，则P Q =（ ）A ．[0,1]B ．(1,2]C ．[0,2]D ．(1,2)【答案】B【解析】由234x x +<，得13x <<，所以(1,3)Q =，故(1,2]P Q =．2．已知复数z 满足(2i)1i z -=+，则z =（ ） A ．13i 55+ B ．31i 55+ C ．13i 55- D ．31i 55- 【答案】C 【解析】1i (1i)(2i)13i 13i 2i (2i)(2i)555z ++++====+--+，故13i 55z =-．3．已知3sin 32αα=，则πcos()3α-的值为（ ）A ．13B ．13-C 3D ．3【答案】C【解析】因为3sin 3cos 2αα+=，所以133(cos sin )122αα+=， 即ππ3cos cossin sin 333αα+=，所以π3cos()33α-=． 4．执行如图所示的程序框图，若输入的6a =，3b =，则输出的x 的值是（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2-【答案】C【解析】执行程序框图，6,3,3a b x ===；4,5,1b a x ===；2,4,2b a x ===；3,3,0b a x ===，此时退出循环，故输出的x 的值是0．5．2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布15项“世界互联网领先科技成果”，有5项成果属于芯片领域，分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“特斯拉全自动驾驶芯片”、寒武纪云端AI 芯片“思元270”赛灵思“Versal 自适应计算加速平台”．若从这15项“世界互联网领先科技成果”中任选3项，则至少有一项属于“芯片领域”的概率为（ ） A ．6791B ．2491C ．7591D ．1691【答案】A【解析】由已知得，这15项“世界互联网领先科技成果”中有5项成果属于芯片领域． 记“从这15项‘世界互联网领先科技成果’中任选3项，至少有一项属于‘芯片领域’”为事件A ，则A 为“选出的3项都不属于‘芯片领域’”，因为310315C 24()C 19P A ==，所以24()1()6791191P A P A =-=-=． 6．函数23π(1)cos()2()x x f x x-+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题可得223π(1)cos()(1)sin 2()x x x x f x xx-+-==，且其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，22[1()]sin()(1)sin ()()x x x xf x f x x x-----===-，所以函数()f x 为偶函数，故排除C ，D选项；又当(0,1)x ∈时，210x ->，sin 0x >，所以()0f x >，故排除A 选项， 综上，选B ．7．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点C ，若1F ，C 均是线段AB 的三等分点，2F AB △的周长为45圆E 的标准方程为（ ）A ．22154x y +=B ．22153x y +=C ．22152x y +=D ．2215x y +=【答案】A【解析】由椭圆的定义知1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=，则2F AB △的周长为1212||||||||445AF AF BF BF a +++==，所以5a =，所以椭圆E 的方程为22215x y b +=．不妨设点A 在第一象限，则由1F ，C 均是线段AB 的三等分点， 得C 是线段1F A 的中点，又1(,0)F c -，所以点A 的横坐标为c ，由22215c y b +=，得5b y =， 所以(,)5b A c ，所以(0,)25b C ，(2,)25b Bc --．把点B 的坐标代入椭圆方程得42242015b c b+=，即2241520c b +=， 化简得222016b c =-，又225b c =-，所以2220165c c -=-，解得21c =，所以24b =，所以椭圆E 的标准方程为22154x y +=．8．甲、乙两家企业2019年1至10月份的月收入情况如图所示，下列说法中不正确的是（ ）A ．甲企业的月收入比乙企业的收入高B ．甲、乙两家企业月收入相差最多的是7月份C ．甲、乙两家企业月收入差距的平均值为350万元D ．10月份与6月份相比，甲企业的月收入增长率比乙企业的月收入增长率低 【答案】C【解析】A 项，由图可知，甲企业的月收入比乙企业的月收入高，所以该选项正确； B 项，由图可知，甲、乙两家企业的月收入差距如下表所示：则甲、乙两家企业月收入相差最多的是7月份，为600万元，故该选项正确； C 项，由上表可知，甲、乙两家企业月收入差距的平均值为2003002001001(10300030+++++⨯60040030030)0300++++=（万元），故该选项不正确；D 项，10月份与6月份相比，甲企业与乙企业的月收入都增加了200万元， 但甲企业6月份的收入为600万元，乙企业6月份的收入为300万元， 所以甲企业月收入的增长率比乙企业月收入的增长率低，故该选项正确．9．若,x y 满足约束条件11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，2z x y a =++的最大值为1，则实数a =（ ）A ．4B ．4-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据题意，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．2z x y a =++可化为1222z a y x =-+-，作出直线12y x =-，平移该直线，当平移后的直线经过可行域内的点(1,2)A 时，z 取得最大值1， 把1,2,1x y z ===代入2z x y a =++，得4a =-． 10．已知0a b >>，则下列不等式中不正确的是（ ） A ．22a ab b >>B ．ln ln a a b b +>+C ．1122a b b a +<+ D ．222211a b b a+>+ 【答案】C【解析】选项A ，因为0a b >>，所以由不等式的性质可得2a ab >，2ab b >，所以22a ab b >>，故该选项正确；选项B ，因为0a b >>，函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增，所以ln ln a b >， 所以ln ln a a b b +>+，故该选项正确； 选项C ，因为0a b >>，函数1y x =在(0,)+∞上单调递减，所以110b a>>，易知22a b >， 所以1122a b b a+>+，故该选项不正确； 选项D ，因为函数2y x =在(0,)+∞上单调递增，函数21y x=在(0,)+∞上单调递减，且0a b >>，所以22a b >，且2211b a >，由不等式的性质可得222211a b b a+>+，故该选项正确．11．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，AB =D 是侧面11BCC B 的中心，球O 与该三棱柱的所有面均相切，则直线AD 截球O 的弦长为（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为球O 与直三棱柱111ABC A B C -的所有面均相切且直三棱柱111ABC A B C -的底面为正三角形，所以球心O 为该直三棱柱上、下底面三角形重心连线的中点．设底面三角形ABC 的重心为O '，E 是BC 的中点，连接AE ，OO '，OD ，DE ， 则OO '⊥底面ABC ，因为D 是侧面11BCC B 的中心，所以四边形OO ED '为正方形．设球O 的半径为r ，则结合AB =，可得113r ==，连接OA ，易得AD ==OA ==， 所以222cos2OD AD OA ODA OD DA +-∠==⋅⋅故所求弦长为3102cos 5r ODA ∠=．12．已知函数()()x f x ae a =∈R 的图象经过点(2,1)P ，若函数()|()2ln |g x f x x t =-+有四个零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．[12ln 2,0)- B ．(12ln 2,0)- C ．(,12ln 2]-∞- D ．(,12ln 2)-∞-【答案】B【解析】由已知得(2)1f =，即21ae =，解得21a e =，故21()xf x e e=， 所以21()|2ln |xg x e x t e =-+， 易知函数21()|2ln |x g x e x t e =-+的零点个数，即21|2ln |xy e x e=-的图象与直线y t =-的交点个数，所以设21()2ln (0)x p x e x x e =->，则212()x p x e e x '=-． 记212()(0)x q x e x e x =->，显然2为该函数的一个零点，即(2)0q =，又2212()0x q x e e x'=+>恒成立，故函数()q x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()q x 在(0,)+∞上只有一个零点2．当(0,2)x ∈时，()0q x <，即()0p x '<，所以函数()p x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时，()0q x >，即()0p x '>，所以函数()p x 单调递增， 所以()p x 的最小值为221(2)2ln 212ln 20p e e=⨯-=-<． 如图，作出函数21|2ln |xy e x e =-的图象以及直线y t =-， 因为函数21|2ln |xy e x e=-的图象与直线y t =-有四个不同的交点， 所以数形结合可知02ln 21t <-<-，解得12ln 20t -<<．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．若二项式61()(0)x a a x->的展开式中的常数项为1516，则a = ． 【答案】2【解析】二项展开式的通项公式为366216611C ()C ()r r rrr r r T x x a a x--+=-=-，令3602r -=，解得4r =， 故4456411515C ()16T a a =-==，所以416a =，故24a =，又0a >，所以2a =．14．如图所示的扇形OAB 的半径为2，120AOB ∠=︒，P 是圆弧上一点，且满足23OP OB ⋅=，AB 与OP 交于点M ，则OM AB ⋅= ．【答案】2【解析】由23OP OB ⋅=，2OB OP ==，得||||cos 22cos 23OP OB BOP BOP ⋅∠=⨯⨯∠=，所以3cos BOP ∠=30BOP ∠=︒，90POA ∠=︒， 因为120AOB ∠=︒，OA OB =，所以30OAB OBA ∠=∠=︒，所以23||2tan 303OM =︒=，||23AB =，60OMA ∠=︒， 所以23123232OM AB ⋅=⨯⨯=． 15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点M 是双曲线左支上一点，1290F MF ∠=︒，直线2MF 交双曲线的另一支与点N ，14||5||NF MN =，则双曲线的离心率是 ． 【答案】5【解析】如图，设||MN m =，由14||5||NF MN =，得15||4NF m =， 又1290F MF ∠=︒，所以22222211259||||||1616MF NF MN m m m =-=-=，所以13||4MF m =， 根据12||||2NF NF a -=，得25||24NF m a =-，所以225||||||24MF MN NF m m a =+=+-=924m a -，又21||||2MF MF a -=，所以932244m a m a --=，83m a =，所以1||2MF a =，2||4MF a =，在直角三角形12MF F 中，2221212||||||MF MF F F +=，则2224164a a c +=， 所以5ce a==．16．在数列{}n a 中，14a =，26a =，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若n T 是数列{}n b 的前n 项和，19(3)n n n n a b a a +-=，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，n λ= ．【答案】24【解析】当2n ≥时，由149n n a a +=-，得134(3)n n a a +-=-，又233a -=，所以数列{3}n a -从第二项起是首项为3，公比为4的等比数列， 则2343n n a -=⨯+，2n ≥， 所以24,1343,2n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩． 当1n =时，1138T b ==，217155(3)()82a T λ=-⋅-=∉Z ，不符合题意， 因为2n ≥时，221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++， 所以当2n ≥时，1232221323131111()()841414141n n T b b b b ----=++++=+-+-+++++2111171()4141841n n n ---+-=-+++， 则111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++， 因为λ是整数，所以141n -+是15的因数，所以141n -+为1，3，5或15，易知当且仅当2n=时，11541n -+是整数，此时12λ=，24n λ=．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC △的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c cos B =+ sin b C ．（1）求角C 的大小；（2）如图，设P 为ABC △内一点，1PA =，2PB =，且πAPB ACB ∠+∠=，求AC BC +的最大值． 【答案】（1）π3C =；（2）27． 【解析】（133cos sin a c B b C =+33cos sin sin A C B B C =+， 3)3cos sin sin B C C B B C +=+，3(sin cos sin cos )3cos sin sin B C C B C B B C +=+， 3cos sin sin B C B C =，易知sin 0B ≠，∴tan 3C = 又(0,π)C ∈，∴π3C =． （2）由（1）与πAPB ACB ∠+∠=，得2π3APB ∠=， 在PAB △中，由余弦定理，得2222π2cos 14212cos73AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 又在ABC △中，22222cos ()3AB AC BC AC BC ACB AC BC AC BC =+-⋅∠=+-⋅222()()3()24AC BC AC BC AC BC ++≥+-=， ∴27AC BC +≤AC BC +的最大值为27．18．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11BCC B ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥，AB AD ⊥，12BC CD ==，1AD AB ==，12CC =．（1）证明：AD ⊥平面11CDD C ； （2）求二面角11A C D B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（27． 【解析】（1）易知四边形ABCD 为直角梯形，则由1AB AD ==，2CD =， 得2BD BC ==又12CC =，12C B =，所以2211C B C C BC 2=+，即1C C BC ⊥，又平面11BCC B ⊥平面ABCD ，平面11BCC B ABCD BC =，所以1C C ⊥平面ABCD ，所以1C C AD ⊥， 又CD AD ⊥，1CDC C C =，所以AD ⊥平面11CDD C ．（2）由（1）知1CC ⊥平面ABCD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，又AD DC ⊥，故以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则(0,0,0)D ，12)A ，1(0,2)C ，(1,1,0)B ， 故11(1,2,0)AC =-，1(0,2,2)C D =-，(1,1,0)DB =．设平面11AC D 的法向量为111(,,)x y z =m ，平面1BDC 的法向量为222(,,)x y z =n ，由11100C D A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得111122020y x y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩，令11y =，则12x =，12z =，故(2,1,2)=m ；由100C D DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得22222200y z x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，则21y =-，22z =，故(1,1,2)=-n ，于是2127cos ,||||1472⋅--〈〉===-⋅⨯m n m n m n ， 易知二面角11A C D B --是锐二面角，故二面角11A C D B --的余弦值等于714．19．（12分）已知点(2,0)P -，抛物线22(0)y px p =>上存在一点A ，且直线AP 的斜率最大，最大值为1．（1）求点A 的坐标及p 的值；（2）若直线l 交抛物线于点B ，C ，且直线AB 与AC 都是圆22:430N x y x +-+=的切线，求直线l 的方程．【答案】（1）(2,4)A ，4p =；（2）1515220x y ++=． 【解析】（1）设点00(,)A x y ，则2002y px =，易知00y >，000220000022*******AP p y y py p k p y x y p p y y p====≤=++++， 当且仅当004py y =，即0y p =AP p ，1p=，4p =，所以04y =，02x =，所以(2,4)A ． （2）由（1）知抛物线方程为28y x =，22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆N 的圆心坐标为(2,0)，1r =，设过点(2,4)A 的圆N 的切线方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1=，得215k =，所以k =，不妨设AB的方程为42)y x -=-，代入28y x =， 消去x28320y -+-=． 设11(,)B x y，则14y +=，14y =， 同理，设22(,)C x y，则24y =， 所以128y y +=-，21111111122(8)4)4)88815y x y y y y +=+=+=-⨯+=-，所以直线l 的的斜率21211222121218188y y y y k y y x x y y --====--+-，所以直线l 的方程为11()y y x x -=--，即11y x x y =-++，即2215y x =--， 故直线l 的方程为1515220x y ++=． 20．（12分）已知函数3()2()xxf x e x a a e =++-∈R 有两个不同的零点1x ，2x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）证明：120x x +>．【答案】（1）(4,)+∞；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为3()2xxf x e x a e =++-， 所以2323(3)(1)()2x x x x xx x xe e e ef x e e e e +-+-'=-+==， 令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 所以min ()(0)4f x f a ==-，要使函数()f x 有两个不同的零点，必须满足min ()0f x <，所以4a >． 若4a >，注意到3()0aa f a e a e=++>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上有且只有一个零点；1()333()a a a f a e a e a e-=+->-， 令()x t x e x =-，4x >，则()10x t x e '=->，所以()t x 在(4,)+∞上单调递增，所以4()40t x e >->， 从而()0f a ->，所以函数()f x 在(,0)-∞上有且只有一个零点， 综上所述，实数a 的取值范围为(4,)+∞． （2）由（1）知120x x <，不妨设120x x <<， 令2()()()42x x h x f x f x x e e =--=+-，则11()42()440xx x xh x e e e e'=-+≤-⋅=， 所以()h x 在(,)-∞+∞上单调递减．由于20x >，所以2()(0)0h x h <=，即22()()0f x f x --<，所以22()()f x f x <-． 注意到12()()f x f x =，所以12()()f x f x <-， 又10x <，20x -<，()f x 在(,0)-∞上单调递减， 所以12x x >-，所以120x x +>．21．（12分）2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克，第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条年产量为100万件的产品生产线，该种产品以第三代杂交水稻为原料，已知该产品的质量以某项指标值([70,100])k k ∈为衡量标准，等级划分如下表：为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如图所示的频率分布直方图，将频率视为概率．（1）若从指标值不低于85的产品中利用分层抽样的方法抽取7件，然后从这7件产品中任取3件进行进一步分析，求这3件产品中指标值[90,95)k ∈的件数X 的分布列及数学期望；（2）从试生产的所有产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的3件产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ，求事件A 发生的概率．（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （元）的关系如下表所示（14t <<）：试估计t 的值，使得该企业该生产线的年盈利最大，并求出最大年盈利．（参考数据：ln 20.7≈，ln 3 1.1≈，ln 5 1.6≈）【答案】（1）分布列见解析，67EX =；（2）0.973；（3）ln 5 1.6t =≈，最大年盈利为90万元．【解析】（1）由频率分布直方图可知，这1000件产品中，[85,90)k ∈的频率为0.0850.4⨯=；[90,95)k ∈的频率为0.0450.2⨯=；[95,100)k ∈的频率为0.0250.1⨯=，故利用分层抽样的方法抽取7件产品，[85,90)k ∈的有4件，[90,95)k ∈的有2件，[95,100)k ∈的有1件．易知X 的所有可能取值为0，1，2，032537C C 2(0)C 7P X ===，122537C C 4(1)C 7P X ===，212537C C 1(2)C 7P X ===，所以X 的分布列为24160127777EX =⨯+⨯+⨯=．（2）设“从试生产的所有产品中随机抽取一件，恰为合格及以上等级”的概率为p ， 则根据频率分布直方图可得1(0.040.02)50.7p =-+⨯=，则3333()1C (1)10.310.0270.973P A p =--=-=-=．（3）由题意可得每件产品的质量指标值k 、利润y （元）与概率的关系如下表所示（14t <<）：故每件产品的平均利润()()0.30.430.1550.130.050.3 1.5(14)t t f t e t t t t e t x =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+<<，()0.3 1.50.3(5)t t f t e e '=-+=--，当(1,ln 5)t ∈时，()0f t '>，函数()f t 单调递增； 当(ln 5,4)t ∈时，()0f t '<，函数()f t 单调递减， 所以当ln 5t =时，()f t 取得最大值，最大值为ln50.3 1.5ln 5 1.5(1ln 5) 1.50.60.9e -+⨯=⨯-+≈⨯=，所以生产该种产品能够实现盈利，且当ln 5 1.6t =≈时，每件产品的平均利润取得最大值，为0.9元，又该企业该生产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为0.910090⨯=（万元）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1xyαα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，直线l的方程为20x+-=，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；（2）已知射线π:3OAθ=与曲线C和直线l分别交于M和N两点，求线段MN的长．【答案】（1）()22:13C x y-+=，πsin()6:1lρθ+=；（2）1MN=．【解析】（1）由1xyαα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)得曲线C的普通方程为()2213x y-+=．由直线l的方程为20x+-=，sin cos20θρθ+-=，即πsin()16ρθ+=．（2）曲线C的极坐标方程是22cos20ρρθ--=，把π3θ=代入曲线C的极坐标方程得220ρρ--=，解之得2Mρ=或1Mρ=-(舍)．把π3θ=代入直线l的极坐标方程得1Nρ=，所以|21|1M NMNρρ=-=-=．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知关于x的不等式||20x m x-+≤的解集为(],1-∞-，其中0m>．（1）求m的值；（2）若正数,,a b c．满足a b c m++=，求证：2221b c aa b c++≥．【答案】（1）1m=；（2）证明见解析．【解析】（1）由0||2x m x-+≤，得20x mx m x≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x<⎧⎨-+≤⎩，化简得3x mmx≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x mx m<⎧⎨≤-⎩，由于0m>，所以不等式组的解集为(],m-∞-，由题设可得1m -=-，故1m =． （2）由（1）可知，1a b c ++=，又由均值不等式有22b a b a +≥，22c b c b +≥，22a c a c +≥，三式相加可得222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++，所以2221b c a b c a a b c++≥++=．。