专升本高数章节练习题
高数章节习题练习 第一节函数极限连续
1、设()12x
f x x
=
-，求[()]f f x 2、设
2,01
()3,12
x x f x x x ⎧≤≤=⎨
<≤⎩ ，()x g x e =，求[()]f g x ．
3、()arcsin(21)ln(1)f x x x =-+-
4、
21
()arccos(2)2
x f x x x x -=+---．
5、设()f x 和()g x 为任意函数，定义域均为(,)-∞+∞，试判定下列函数的奇偶性． （1）
()()()()
f x f x
g x g x +-++- （2）
()()()()f x f x g x g x --++-
6、判定函数2()ln(1)f x x x =+
+的奇偶性．
7、．2221
2
lim()n n n
n n
→∞
+++
8、．2
2
2
111lim(
)1
2
n n n n n
→∞
+
+
+
+++
9、．22
2lim(1)n n n n
→∞
++
10
、
23lim()21n
n n n →∞-+．
．sin lim x x x
→∞
．
11、．21lim 1
n x x x x n
x →+++--． 12
、
0sin(1)lim 3x x e x
→-．
sin 0lim
sin x x
x e e x x
→--．
13、23lim()2x
x x x
→∞
++． 14、11lim(sin cos )x x x x
→∞+． 【例1-6】已知
()f x 是多项式，且3
2()2lim 2x f x x x
→∞-=，0()
lim 3x f x x
→=，求()f x ． 【例1-7】当0x →时，比较下列无穷小的阶． 1．2x 比1cos x - 2、2x 比
11x +-．3、
11x x +--比
x ．4．2x 比tan sin x x -
【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性． 1．
2,01
()1,11,1x x f x x x x ⎧≤<⎪==⎨⎪+>⎩
在1x =处的连续性．
2．
1
,0()ln(1),0
x e x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪+≥⎩ 在0x =处的连续性．
【例1-9】当常数
a
为何值时，函数
2,0()ln(1),0x a x f x x x x
-≤⎧⎪
=⎨+>⎪⎩
在0x =处连续？
【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型． 1．1()x
f x e = ． 2．()sin x f x x
= ． 3．111
()1
x
x e f x e -=+ ．4．
1arctan ,0()0,
0x f x x
x ⎧
≠⎪=⎨⎪=⎩ ．
【例1-11】证明方程32410x x -+=在区间(0,1)内至少有一个根．
【例1-12】证明方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根． 一、选择题 1．（ ，1分）函数2
1
1arccos 2
x y x +=--的定义域是
（ ）
（A ）[3,1]- （B ）[3,1]-- （C ）[3,1)-- （D ）[1,1]-
2．（ ，1分）极限0
sin3lim x x
x
→等于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）
13
（D ）3
3．（ ，1分）极限(1)lim n
n n n
→∞+-=（ ）
（A ）1 （B ）0 （C ）
∞
（D ）不存在
4．（ ，1分）若
1,0
()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩
，则0
lim ()x f x →=（ ） （A ）1- （B ）0 （C ）
1
（D ）不存在
5．（ ，1分）2
x π=是函数tan x
y x
=
的（ ）
（A ）连续点 （B ）可去间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）第二类间断点
6．（ ，3分）设1()sin f x x x
= ，则lim ()x f x →∞
等于（ ） （A ）0 （B ）不存在 （C ）
∞
（D ）1
7．（ ，3分）当0x →时，23x 是2sin x 的（ ） （A ）高阶无穷小 （B ）同阶无穷小，但不等价
（C ）低阶无穷小 （D ）等价无穷小
8．（ ，3分）当0x →时，tan 2x 是（ ） （A ）比sin3x
高阶的无穷小 （B ）比sin3x 低阶的无穷小
（C ）与sin3x
同阶的无穷小
（D ）与sin3x 等价的无穷小
9．（ ，2分）设
()sin f x x = ，,0
(),0
x x g x x x ππ-≤⎧=⎨+>⎩
，
则[()]f g x =（ ）
（A ）sin x （B ）cos x （C ）sin x - （D ）cos x -
10．（ ，3分）设120
lim(1)
x
x mx e →-=，则m =（ ）
（A ）1
2
-
（B ）2 （C ）2-
（D ）12
11．（ ，3分）设1x
y e -
=是无穷大，则x 的变化过程是（ ）
（A ）0x +→ （B ）0x -→ （C ）x →+∞ （D ）x →-∞ 二、填空题
1．（ ，2分）若函数
21,1
(),1
x x f x x a x -+≤⎧=⎨
->⎩ 在1x =处
连续，则a = ．
2．（ ，2分）
0x =是函数1
()cos f x x x
=的第 类间断点． 3．（ ，2分）设
1,
1()0,
11,1
x f x x x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩
，()x g x e =，则
[(ln 2)]g f =
．
4．（ ，2分）1sin y x
=在0x =处是第 类间断点．
5．（ ，4分）函数
ln arcsin y x x
=+的定义域
为 ．
6．（ ，4分）设数列n x 有界，且lim 0n n y →∞
=，则lim n n n x y →∞
=
．
7．（ ，4分）函数31y x =+的反函数为 ． 8．（ ，4分）函数21arcsin
3
x y -=的定义域
为 ．
9．（ ，4分）21lim()x x x x
→∞
-= ． 10．（ ，2分）若函数
2
121212(),0()12,0x x x f x x x a x +⎧->⎪=⎨+⎪-≤⎩
在0
x =。