二次函数专项测试 颍上三中杜宏洋 整理一、选择题（每题3分，共36分）1.在下列关系式中,y 是x 的二次函数的关系式是 ( )A .2xy +x 2=1B .y 2-ax +2=0C .y +x 2-2=0D .x 2-y 2+4=0 2.设等边三角形的边长为x (x >0），面积为y ，则y 与x 的函数关系式是( )A . 212y x =B . 214y x = C. 2y = D. 2y = 3.抛物线y =x 2-8x +c 的顶点在x 轴上，则c 等于( )A .-16B .-4C .8D .164.若直线y =ax ＋b (a ≠0）在第二、四象限都无图像，则抛物线y =ax 2+bx +c ( )A .开口向上，对称轴是y 轴B .开口向下，对称轴平行于y 轴C .开口向上，对称轴平行于y 轴D .开口向下，对称轴是y 轴5.一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx +cA .B .C .D .6.若y =ax 2+bx +c 的部分图象如上图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的另一个解为（ ） A .-2 B .-1 C .0 D .17.已知抛物线y =-x 2+mx +n 的顶点坐标是（-1，- 3 )，则m 和n 的值分别是（ ）A .2,4B .-2,-4C .2,-4D .-2,0 8.对于函数y =-x 2+2x -2使得y 随x 的增大而增大的x 的取值范围是 ( )A .x >-1B .x ≥0C .x ≤0D .x <-1 9.抛物线y =x 2-(m +2)x +3(m -1)与x 轴 （ ）A .一定有两个交点；B ．只有一个交点；C ．有两个或一个交点；D ．没有交点 10.二次函数y =2x 2+mx -5的图像与x 轴交于点A (x 1, 0）、B (x 2，0), 且x 12+x 22=294，则m 的值为（ ） A .3 B .-3 C .3或-3 D .以上都不对11.对于任何的实数t ，抛物线 y =x 2 +(2-t ) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )A . (1, 0)B .（-1, 0)C .（-1, 3)D . (1, 3)二、填空题（每题5分，共25分）12.如果把抛物线y =2x 2-1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物是 .13. 抛物线在y =x 2-2x -3在x 轴上截得的线段长度是 .14. 设矩形窗户的周长为6m ，则窗户面积S (m 2）与窗户宽x (m )之间的函数关系式是，自变量x 的取值范围是 .15不等式2x 2+3x -2＞0的解集是： .三、解答题（共89分）16.（12分）已知抛物线的顶点坐标为M (1,-2 )，且与x 轴交于点A 、B ，△AMB 为等腰直角三角形，求此抛物线的解析式．17.（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。
⑴现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ ②若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。
18.（12分）已知抛物线y =x 2+(k －2)x +1的顶点为M ，与x 轴交于A （a ,0）、B (b ,0)两点，且k 2－(a 2＋ka +1)·(b 2+kb +1)=0, ⑴求k 的值；⑵问抛物线上是否存在点N ，使△ABN 的面积为？若存在，求点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
19.（13分）二次函数215642y x x =-+的图象与x 轴从左到右两个交点依次为A 、B ，与y 轴交于点C ，⑴求A 、B 、C 三点的坐标；⑵如果P 是该抛物线对称轴上一点，试求出使P A +PC 最小的点P 的坐标； ⑶如果P 是该抛物线对称轴上一点，试求出使│P A -PC │最大的点P 的坐标；20. （12分）如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． ⑴ 求A 、B 、C 三点的坐标．⑵ 过点A 作AP CB ∥交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．21.（14分）已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上,OA =10, OC =6,⑴如图甲：在OA 上选取一点D ，将△COD 沿CD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ．求折痕CD 所在直线的解析式；⑵如图乙：在OC 上选取一点F ，将△AOF 沿AF 翻折，使点O 落在BC 边，记为G . ①求折痕AF 所在直线的解析式；②再作GH //AB 交AF 于点H ，若抛物线2112y x h =-+过点H ,求此抛物线的解析式，并判断它与直线AF 的公共点的个数.⑶如图丙：一般地，在OA 、OC 上选取适当的点I 、J ,使纸片沿IJ 翻折后，点O 落在BC 边上，记为K ．请你猜想：①折痕IJ 所在直线与第⑵题②中的抛物线会有几个公共点；② 经过K 作KL //AB 与IJ 相交于L ，则点L 是否必定在抛物线上. 将以上两项猜想在（l ）中的情形下分别进行验证．二次函数专项测试参考答案一、选择题: 1.C 2.D 3.D 4.A 5.C 6.B 7.B 8.D 9.C 10.C 11.D 12.C 二、填空题: 13.y =2x 2-4x +5 14.4 15.S =-x 2+3x （0<x <3） 16.20 17. x <-2或x >12三、解答题 18. 21322y x x =-- 19.解：⑴设应涨价x 元，(10+x )(500-20x )=6000,整理得：x 2-15x +50=0，解之得x 1=5,x 2=10，要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元. ⑵令总利润为y 元，则y =-20x 2+300x +5000=-20(x -7.5)2+6125，故应涨价7.5元，最大总利润为6125元. 20. ⑴ a 2＋ka +1=2a , b 2+kb +1=2b , ab =1，∴k 2-4=0，∴k =±2，当k =2时，△<0；当k =-2时，△>0，∴k =-2⑵AB =△ABN 的面积为,∴│y N │=4，∴x 2-4x +1=±4，解得x N 坐标为（4）21. ⑴ A 、B 、C 三点的坐标分别为（4,0）、（6,0）、（0,6） ⑵BC 与对称轴x =5交于点P (5,1) ⑶AC 与对称轴x =5交于点P (5,-32) 22. ⑴ ∵MBC △是等边三角形，∴60MB MC MBC MCB =∠=∠=︒，， ∵M 是AD 的中点，∴AM M D =，∵AD BC ∥，∴60AMB MBC ∠=∠=︒，60DMC MCB ∠=∠=︒， ∴AMB DMC △≌△，∴AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形．⑵ 在等边三角形MBC 中，460MB MC BC MBC MCB ===∠=∠=︒，，60MPQ ∠=︒ ∴120BMP BPM BPM QPC ∠+∠=∠+∠=︒，∴BMP QPC ∠=∠∴PC CQBMP CQP BM BP=△∽△， ∵PC x =，MQ y =，∴44BP x QC y =-=-， ∴444x y x -=-，∴2144y x x =-+⑶∵()21234y x =-+，∴当y 取最小值时，2x PC ==，∴P 是BC 的中点，MP BC ⊥，而60MPQ ∠=︒ ∴30CPQ ∠=︒，∴90PQC ∠=︒．23.⑴()10A -，，()10B ，，()01C -， ⑵ ∵1OA OB OC === ∴45BAC ACO BCO ∠=∠=∠=︒∵AP CB ∥ ∴45PAB ∠=︒．过点P 作PE x ⊥轴于E ，则APE ∆为等腰直角三角形． 令OE a =，则1PE a =+．∴()1P a a +，． ∵点P 在抛物线21y x =-上．∴211a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴3PE =．∴四边形ACBP 的面积1111212342222S AB OC AB PE =⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=．24.解：⑴由折法知，四边形OCEG 是正方形，∴OG =OC =6，∴G （6，0）、C （0，6）.设直线CG 的解析式为：y =kx +b ，则0=6k +b , 6=0+b . ∴k =－1,b =6 ∴直线CG 的解析式为：y =－x +6.⑵ ①在Rt △ABE ′中，BE ′=22610-=8，∴CE ′=2. 设OD =s ，则DE ′=s ，CD =6－s ，∴在Rt △DCE ′中，s 2=(6－s )2+22, s =310.则D （0，310）. 设AD ：y =k ′x +310.由于它过A （10，0），∴k ′=－31. ∴AD ：y =－31x +310.②∵E ′F //AB , ∴E ′(2,6) ,∴设F （2，y F ），∵F 在AD 上，∴y F =－31×2+310=38，∴F （2，38）.又F 在抛物线上，∴38=－121×22+h . ∴抛物线的解析式为：y =－121x 2+3.将y =－31x +310代入y =－121x 2+3. 得－121x 2+31x －31=0.∵△=(31)2－4×(－121)×(－31)=0. ∴直线AD 与抛物线只一个交点.⑶例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y =－121x 2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG . 将y =－x +6 代入y =－121x 2+3.得－121x 2+x －3=0.∵△=1－4 (－3)×(－121)=0, ∴折痕CG 所在直线的确与抛物线y =－121x 2+3只有一个交点.。