fo (x, y, z,t) 0 fo' (x, y, z,t) 0
(2-22)
这种形式的初值条件意味着除了给定的以外，在 介质中没有任何形式的震源。
第二章 弹性动力学中的基本波
弹性体的运动表现为在弹性介质中传播的弹性波。 在本章中将介绍弹性波方程以及在均匀各向同性完 全弹性介质中弹性波的基本类型和它们的特点。
1、弹性波的控制方程 2、声波方程的建立 3、均匀各向同性无限弹性介质中的平面波 4、均匀各向同性无限弹性介质中的球面波 5、均匀各向同性无限弹性介质中的柱面波 6、波动方程的定解问题
当外力作用停止以后或在没有外力作用的介质部分，讨
论已经发生的弹性振动在介质中的传播情况，使用齐次
波动方程。在式（2－8）和式（2－9）中令
，
可有： 0, 0
2
t 2
2
2
0
（2－12）
2
t 2
2
0
（2－13）
三、波动方程的一般形式
在弹性介质中存在两种类型的波，纵波和横波。其齐
次方程可归纳为：
（1-98）
其中u为位移向量，体变 divu ，F 为体力向量。
方程式（1-98）决定着弹性介质运动状态，决定着振动在
弹性介质中的传播，称为拉梅方程。
§2－1 弹性波控制方程
一、弹性波方程的导出
弹性体的运动状态由弹性体每一点上的位移向量u所决定。 作为质点位置坐标和时间的函数，位移向量u满足弹性介质运动 平衡微分方程式。根据亥姆霍兹(Helmholtz)定理，任何一个向量 场可以表示为一个无源向量场及一个无旋向量场之和，所以位移 向量u可以写作：
curlu p curl(grad) 0 (2-10)
此处考虑了us为无散的旋度场
div us=div ( curl )=0。
这样以标量位为未知函数的波动方程式（2－8）描述
的是介质某一区域的体积变化—即膨胀或压缩。在这种 状态下介质质点围绕其平衡位置作前进或返回的往返运 动，单元体不作旋转。这种类型的波动称为纵波，经常
能产生纵波。 拉梅方程
VP
2
VS
(
) grad
2u
F
2u t 2
对上式取散度
对上式取旋度
2
2t
2
2
divF
2
2t
2
curlF
四、初值与边值条件
波动方程一般有无限多的解。求解波动方程，确定 位移场唯一解，要求给出补充条件——初值条件和 边值条件。
首先，求出波动方程的通解。 其次，根据给定的初值、边值条件确定待定系数。 满足条件的解为定解。
2(1 ) 1 (2-20) 1 2
可见纵波速度大于横波速度。对自然界中常见的岩石
来说，＝ ,即 =0.25。具有这种性质的物体称为泊
松体。对泊松体而言， ＝ 1.73；
总结：在均匀各向同性完全弹性介质中，纵波和横
波彼此独立存在和传播，在非均匀介质中，纵波和横波
彼此不能分开、独立传播，即纵波能产生横波，横波也
div(grad) 2
整理后可得：
grad[(
2)2
2
t 2
]
curl[2 2 ] 0
t
（2－7）
在（2－7）式中若两个方括号中的式子为零，则方程
得到满足。因此我们有：
2
t 2
2
2
2
t 2
2
（2－8） （2－9）
方程式（2－8）、（2－9）为非齐次波动方程。
二、纵波和横波
下面是本章要用到的第一章中的公式
xx 2exx
yy
2 e yy
(1-74)
zz
2ezz
xz
exz
yz eyz (1-75)
xy
exy
exx
u x
eyy
v y
ezz
w z
exy
u y
v x
u w exz z x
eyz
v z
w y
(
) grad
2u
F
2u t 2
如果要求确定在时间间隔[0，tm]， 0 t tm
内的波函数值，或称为波场值，要求给出波函数及其对 时间偏导数在t＝0时在所有求解区域上的值：
f (x, y, z, t)t0 f0 (x, y, z)
f t
t0 f0' (x, y, z)
(2-21)
称为初值条件。如果在t=0时刻以前介质是静止的，其 位移等于零，则初始条件应是：
2 f 1 2 f C 2 t 2
(2-16)
其中f=f(x，y，z，t) 为波函数，可以代表表示纵波和横波
的各种物理量，如位移位、体变等，C表示波的传播速度
纵波传播速度：
2
VP
横波传播速度：
VS
(2-17) (2-18)
取纵波和横波传播速度之比 ，
2
(2-19)
用E 和v 表示 、 ，并代入式（2-19），可得：
用P 表示，也称P波。
由方程式（2－9）所描述的是另一类型的波动。
curlu 2 curl(u p us ) curl(curl )
divus div(curl ) 0
(2-11)
此处考虑了up为无旋场，
curl up＝curl (grad )=0。
在这种情况下运动形式是弹性介质单元体旋转，而 不发生膨胀或压缩现象。这种类型的波动，其质点位移 方向与振动传播方向相垂直，因而得名为横波，经常用 S表示，也称S波。
弹性介质运动平衡方程式
2
t 2
2
2
分解为：
2
t 2
2
表明，在均匀各向同性完全弹性介质中存在着两种互相独 立的波动类型。根据关系式
divu
curlu 2
其中 为相对体变， 为弹性介质旋转角位移量，前者表
示介质的胀缩应变，后者表示介质的旋转运动。
不难看出， divu div(u p us ) divu p 2
u u p us grad curl （2－3）
其中 和 称为位移位， 为标量位， 为向量位。
up为标量位的梯度，其旋度为零，称为无旋场；us为向 量位的旋度，其散度为零，称为无散场；即
curl
和（2－3）式类似，对体力向量F 使用场的分解， 将它分为位场部分grad 和旋场部分curl，可有：
F grad curl （2－6）
将（2－3）、（2－6）代入拉梅方程(1-98)，
( )grad 2u F 2u
t 2
（1-98）
( )grad(div(grad curl )) 2(grad
curl
)
( grad
curl)
2 t 2
(grad
curl
)
0
其中除交换微分运算顺序外,还考虑了div curl =0，