第一章 集合一、集合有关概念1.集合的中元素的三个特性：(1) 元素的确定性.如：世界上最高的山(2) 元素的互异性.如：由HAPPY 的字母组成的集合{}Y P A H ,,, (3) 元素的无序性.如：{}c b a ,,和{}b c a ,,是表示同一个集合 2.常用数集的表示：◆ 非负整数集（自然数集）：N ；正整数集 +*N N 或；整数集：Z ；有理数集：Q 实数集：R 3.集合的分类：(1) 有限集：含有有限个元素的集合 (2) 无限集：含有无限个元素的集合(3) 空集：不含任何元素的集合，记作：φ.例：{}5|2-=x x二、集合间的基本关系 1.“包含”关系——子集注意：B A ⊆有两种可能：①A 是B 的一部分；②A 与B 是同一集合.反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系：B A = (B A ⊆且A B ⊆) 实例：设{}01|2=-=x x A ，{}1,1-=B “元素相同则两集合相等” 3.集合的性质：① 任何一个集合是它本身的子集即A A ⊆.②真子集:如果B A ⊆,且B A ≠那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B 或(B A )③如果B A ⊆,C B ⊆,那么C A ⊆. ④如果B A ⊆同时A B ⊆ 那么B A =. 4.子集个数问题规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集. ◆ 有n 个元素的集合，含有n2个子集，12-n个真子集. 运算类型交 集并 集补 集定 义B A ={}B x A x x ∈∈且| B A ={}B x A x x ∈∈或|A C S ={}A S |∉∈x x x 且韦 恩 图 示AB图1AB图21.下列四组对象，能构成集合的是（ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.集合{}c b a ,,的真子集共有 个3.若集合{}R x x x y y M ∈+-==,12|2,{}0|≥=x x N ,则M 与N 的关系是 .SA4.设集合{}21|<<=x x A ，{}a x x A <=|，若B A ⊆，则a 的取值范围是 .5.已知集合{}082|2=-+=x x x A ,{}065|2=+-=x x x B ,{}019|22=-+-=m mx x x C ,若φ≠C B ，φ=C A ，求m 的值.第二章 函数一、函数的相关概念1．函数的对应形式：一对一、多对一．2．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.常见定义域类型：①分母0≠； ②偶次方根的被开方数0≥；对数式的真数0>N ；④指数、对数式的底10≠>a a 且；⑤00≠x x 中. ◆ 相同函数的判断方法：◆ ①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； ◆ ②定义域一致 (两点必须同时具备) 3．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法4. 函数图象变换规律：①平移变换：左加右减、上加下减 ；②翻折变换： )(x f 去左留右、右翻左 )(x f)(x f )(x f二、函数的性质1.函数的单调性(局部性质)I.增函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f < 减函数：2121,x x D x x <∈∀且，都有)()(21x f x f > II.图象的特点增函数：图象从左到右是上升的； 减函数：图象从左到右是下降的. III.函数单调区间与单调性的判定方法A .定义法：（证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论） B .图象法:从图象上看升降C .复合函数的单调性规律：“同增异减” 2．函数的奇偶性（整体性质） I.用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定)(x f )(x f -与的关系； ○3作出相应结论：若为奇函数，则有0)()()()(=-+-=-x f x f x f x f 或； 若为偶函数，则有0)()()()(=--=-x f x f x f x f 或II.函数图象的特征奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图象关于y 轴对称.3.函数解析式主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法. 三、典型习题：1.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = .2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ ； 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 .3.设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,()(1f x x =,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ；()f x 在R 上的解析式为 .4.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =5.求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =6.求下列函数的值域：（1）223y x x =+-(2)y7.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式.8.求下列函数的单调区间：⑴y = （2）261y x x =--9.设函数2211)(x x x f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f xf -=．第三章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n .a a nn =)(为奇数n ；⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n )(为偶数n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3．实数指数幂的运算性质①r a ·s r r a a +=；②rs s r a a =)(；③s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质1.指数函数：形如)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数.2.二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a a x=⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化幂值 真数2.对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =NMa log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m nb a n a m log log =；（2）a b ba log 1log =． （二）对数函数1.对数函数：形如0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中R x ∈. 注意:x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．2.对数函数的图象和性质：1>a10<<a1111定义域：()+∞,0 定义域：()+∞,0值域：R 值域：R 在R 上递增 在R 上递减 函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1.幂函数：形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2.幂函数性质归纳I.所有的幂函数图象都不经过第四象限，但都过点（1，1）；II.0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； 特别地：①当1>α时，幂函数的图象下凸，概括为“高高昂起” ②当10<<α时，幂函数的图象上凸，概括为“匍匐前进”； III.0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．四、典型习题1.已知10≠>a a 且，函数)(log x y a y a x -==与的图象只能( )2.计算： ①=64log 2log 273 ;②3log 422+= ；2log 227log 553125+= ; ③21343101.016])2[()87(064.075.030++-+-----= 3.函数)10(2)(652≠>-=+-a a a x f x x且过定点 ；函数恒过定点 ；函数)10(5)22(log )(2≠>+--=a a x x x f a 且过定点 . 4.函数)132(log 221+-=x x y 的递减区间为 .5.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则=a .6.已知1()log (01)1a x f x a a x+=>≠-且，求：（1）()f x 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围. 7. 画出下列函数图象 (1)(2) 8.已知函数，讨论的单调性9. 求函数)34ln()(2-+-=x x x f 的值域.。