集合与函数知识点讲解1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂3. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa补充：数轴标根法解不等式5. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 7. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）0223348. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_____________。

[]（答：，）a a -9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ()如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t =+≥10∴x t =-21 ∴f t e t t()=+--2121 ()∴f x e x x x()=+-≥-2121010. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110() 11. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a [][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()， 12. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？[]（，，则（外层）（内层）y f u u x y f x ===()()()ϕϕ[][]当内、外层函数单调性相同时为增函数，否则为减函数。

）f x f x ϕϕ()() ()如：求的单调区间y x x =-+log 1222（设，由则u x x u x =-+><<22002 ()且，，如图：log 12211u u x ↓=--+当，时，，又，∴x u u y ∈↑↓↓(]log 0112当，时，，又，∴x u u y ∈↓↓↑[)log 1212∴……）13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。

2f(x)f(0)0=如：若·为奇函数，则实数f x a a a x x ()=+-+=2221（∵为奇函数，，又，∴f x x R R f ()()∈∈=000即·，∴）a a a 22210100+-+== 又如：为定义在，上的奇函数，当，时，，f x x f x xx()()()()-∈=+1101241()求在，上的解析式。

f x ()-11()()（令，，则，，x x f x xx ∈--∈-=+--1001241()又为奇函数，∴f x f x x x xx()()=-+=-+--241214()又，∴，，）f f x x x x x xxx ()()()0024110024101==-+∈-=+∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪14. 你熟悉周期函数的定义吗？()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期T T f x T f x f x ≠+=0()()函数，T 是一个周期。

） ()如：若，则f x a f x +=-()（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2 ()又如：若图象有两条对称轴，f x x a x b ()==⇔ 即，f a x f a x f b x f b x ()()()()+=-+=- 则是周期函数，为一个周期f x a b ()2- 如：15. 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清) f x f x y ()()与的图象关于轴对称- f x f x x ()()与的图象关于轴对称- f x f x ()()与的图象关于原点对称-- f x fx y x ()()与的图象关于直线对称-=1f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>−→−−−−−−−−>=+=-()()()()()00 上移个单位下移个单位b b b b y f x a by f x a b()()()()>−→−−−−−−−−>=++=+-00注意如下“翻折”变换：f x f x f x f x ()()()(||)−→−−→−()如：f x x ()log =+21()作出及的图象y x y x =+=+log log 2211y=log 2x16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？()（）一次函数：10y kx b k =+≠ ()()（）反比例函数：推广为是中心，200y k x k y b k x ak O a b =≠=+-≠'() 的双曲线。

()（）二次函数图象为抛物线30244222y ax bx c a a x b a ac b a=++≠=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+- 顶点坐标为，，对称轴--⎛⎝ ⎫⎭⎪=-b aac b a x ba 24422开口方向：，向上，函数a y ac b a>=-0442mina y acb a<=-0442，向下，max应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程ax bx c x x y ax bx c x 212200++=>=++，时，两根、为二次函数的图象与轴∆的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。

ax bx c 200++><()②求闭区间［m ，n ］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程的两根都大于ax bx c k b a k f k 20020++=⇔≥->>⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∆()一根大于，一根小于k k f k ⇔<()0 ()（）指数函数：，401y aa a x=>≠ ()（）对数函数，501y x a a a =>≠log 由图象记性质！ （注意底数的限定！）a x(a>1)()（）“对勾函数”60y x kxk =+> 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 17. 基本运算上需注意的问题: 指数运算：，a a a aa pp 01010=≠=≠-(()) aaa aaa m nmn m nmn=≥=>-((010))，()对数运算：·，log log log a a a M N M N M N =+>>00 log log log log log aa a a n a M N M N M nM =-=，1对数恒等式：a x a xlog =对数换底公式：log log log log log a c c a n a b b a b nmb m =⇒=18 . 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（），满足，证明为奇函数。

1x R f x f x y f x f y f x ∈+=+()()()()() （先令再令，……）x y f y x ==⇒==-000()（），满足，证明是偶函数。

2x R f x f xy f x f y f x ∈=+()()()()() []（先令·x y t f t t f t t ==-⇒--=()()() ∴f t f t f t f t ()()()()-+-=+ ∴……）f t f t ()()-=()[]（）证明单调性：……32212f x f x x x ()=-+=19.. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。

） 如求下列函数的最值： （）123134y x x =-+- （）2243y x x =-+(先√X=?) （），33232x y x x >=-[]()（）设，，449302y x x x =++-=∈cos θθπ（），，54901y x xx =+∈(] 集合与函数巩固练习1.满足关系｛１，２｝⊆Ａ⊆｛１，２，３，４，５｝的集合的个数是（ ） A ：4 B ：6 C ：8 D ：92.以实数x ，x -，||x ，2x ，33x -为元素所组成的集合最多含有（ ） A ：2个元素 B ：3个元素 C ：4个元素 D ：5个元素3．已知集合M 有3个真子集，集合N 有7个真子集，那么M ∪N 的元素个数为（ ）（A ） 有5个元素 （B ）至多有5个元素 （C ） 至少有5个元素 （D ）元素个数不能确定 4. 已知A={(x,y)|y=x ²-4x+3},B={(x,y)|y=-x ²-2x+2},求A ∩B.5.某班考试中，语文、数学优秀的学生分别有30人、28人，语文、数学至少有一科优秀的学生有38人，求： (1) 语文、数学都优秀的学生人数；(2) 仅数学成绩优秀的学生人数.6.已知集合A={x|a ≤x ≤a+3}，B={x<-1或x>5}． (1) 若A ∩B ＝Φ，求a 的取值范围；(2) 若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．7、不等式0)32)(1(2>+-+x x 的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧23B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>23x xC ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<23x xD ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->23x x8、已知集合{}{}4),(,2),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M ⋂为（）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-9. 二次函数c bx ax y ++=2中，若0<ac ，则其图象与x 轴交点个数是（B ）A ．1个B ．2个C ．没有交点D ．无法确定 10. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2)1(1-=-=x y x y 与 B ．111--=-=x x y x y 与C ．2lg 2lg 4x y x y ==与 D ．100lg2lg x x y =-=与11、函数)0(2)(≠=x xx f 的反函数=-)(1x f （ ） A ．)0(2≠x x B ．)0(2≠x x C ．)0(2≠-x xD ．)0(2≠x x12、函数)10()2(log )(<<+=a x x f a 的图象必不过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13、若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，则ab 的值等于（ ）A ．2B ．21C ．100D ．1014.函数)(x f y =的图象与)1(log 21x y -=的图象关于直线x y =对称，则)(x f =（ ）A ．x -+21B ．x 21+C ．x 21-D ．x --21 (提示:根据原函数与反函数图象的性质) 15、若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是（ ） A ．21 B ．21- C ．2 D ．2-16、如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A ．增函数且最小值是5- B 增函数且最大值是5-． C ．减函数且最小值是5- D ．减函数且最大值是5- 17. 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（ ）A ．B ．．C D ．(提示:根据图像判断)18. 若函数)(x f 为奇函数，且当,10)(,0xx f x =>时则)2(-f 的值是（ ）A ．100-B ．1001 C ．100 D ．1001- 19、奇函数)(x f 定义域是)32,(+t t ，则=t (提示:根据奇偶函数定义域特点) 20.xa y )(log 21=在R 上为减函数，则∈a21.设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f 。