温度为Ｔ
１
度，在入口处以常速流入温
度为Ｔ
１
（ｔ）的液体。

在出口处流出等量
液体，使槽内液面保持不变。

槽内装有
不停转动的搅拌器，使液体完全处于混
合状态。

经搅拌器搅拌的液体温度实际
上是均匀的，设ｔ时刻槽内的温度为Ｔ
（ｔ）。

问题如何选择Ｔ
１
（ｔ），使在ｓ时间
内使槽内温度由Ｔ
１
调整到Ｔ
０
，并且使
槽内温度Ｔ（ｔ）和入口温度Ｔ
１
（ｔ）都与Ｔ
０
的偏差尽可能得小。

根据所要解决的问题，构造新的
状态变量ｘ（ｔ）和控制变量ｕ（ｔ），设
ｘ（ｔ）＝Ｔ（ｔ）－Ｔ
０
，ｕ（ｔ）＝Ｔ
１
（ｔ）Ｔ
０
，
（１）
由热力学知，温度的变化率
与温差Ｔ
１
（ｔ）－Ｔ（ｔ）成正比，因此存在正
常数ｋ，使得
＝ｋ（ｕ（ｔ）－ｘ（ｔ）），（２）
满足初始条件：ｘ（０）＝Ｔ（０）－
Ｔ
０
＝Ｔ
１
－Ｔ
０。

为使Ｔ
１
（ｔ）与Ｔ
０
，Ｔ（ｔ）与Ｔ
０
的偏差
均尽可能的小，可选择目标函数
（３）
其中ｒ体现了两种偏差的重要程
度。

于是问题归结为：寻求最优控制ｕ＊
（ｔ），使ｘ（ｔ），ｕ（ｔ）尽可能地接近于零，
使目标函数取得最小值。

构造一个关于的函数
最优温度调节
在温度控制系统中的应用
莫凯林 卢书成 牡丹江医学院 １５７０１１
从五十年代贝尔曼（Ｂｅｌｌｍａｎ）和
庞特里雅金（Ｐｏｎｔｒｙａｇｉｎ）先后给出
动态规划法和极大值原理求解最优控制
问题以来，最优控制理论及应用有了
飞速发展，加之古典变分法理论构成
了最优控制理论的三大支柱体系，使
它能够在解决实际控制问题时发挥作
用。

例如，在恒温的自动控制过程中，
由于外界干扰使温度产生了偏差，采用
何种方法可以最快地消除偏差使系统恢
复到平衡状态。

在温度控制系统中，为
使温度控制在某一点，需要输入和输出
设备的调节，给出按某种规律调整输入
设备，在调整过程中，使系统的输出和
目标的偏差达到最小。

一、最优温度调节模型
假设有一连续搅拌槽，槽内开始
（４）
其中为最优协态向量。

状态
方程为
（５）
取ｋ＝ｒ＝１，Ｔ
１
＝００ｃ令，则
有ｕ（ｔ）＋＝０，从而
（６）
正规方程组为
（７）
应用式（６），（７）得正规方
程组
　（８）
即
（９）
这是一个一阶线性齐次方程组
于是得方程组（８）的通解为
（１０）将边界条件：代入上式得
（１１）解得
（１２）
于是得最优轨线和协态最优轨线
（１３）
因此得最优控制律为
（１４）
二、结论
以上利用变分方法，通过构造哈
密顿函数来确定最优温度轨线的方法，给出了达到理想温度时的流体流量的调节律。

利用最优控制律，可以最快地消除由于外界干扰使温度产生的偏差，使控制系统恢复到平衡状态。

证明：取
，
知
满足定理Ｅ条件，于是：：（ａ，ｂ），使得：故有：
由
由柯西中值定理及引理Ｂ有：
对于ｎ维欧氏空间的矢量函数
，（见定理
Ｆ）其中值点也有以上相似的性质。

４．二元函数中值定理的几何意义
在一元函中，洛尔定理和拉格朗日
中值定理都有明确的几何意义，本节在二元函数中值定理中给出并证明了一个类似的性质定理：
定理４：在点Ｐ（ａ，ｂ）的邻域Ｇ内有连续光滑的曲面
，成立：
即二元函数中值定理成立，则“中间点”的切平面与两端点Ｐ，Ｑ的连线平行（或包含）。

证明：。