《单位圆与三角函数线》习题
1某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条。

如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=30cm，AB=50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条a1、a2、a3，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 A．24 B．25 C．26 D．27
2.如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙1.6米，梯上点D距离墙1.4米，BD长0.55米，则梯子的长为
A．3.85米 B．4.00米 C．4.40米 D．4.50米
3.国际奥运会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成（如图），每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个
圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你们计算出每个
．．小曲边四边形的面积为
__________________平方单位（π取3.14）。

4.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为___________.
5.已知：如图2－6，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100km，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC）。

经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50km的圆。

问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？
6. 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？
７.在某高新技术开发区中，相距200米的A，B两地的中点O处有一个精密仪器研究所，为保证研究所的正常工作，在其周围50米内不得有机动车辆通过。

现在要从A到B修一条公路，有两种修路方案。

（1）分别由A，B向以O为圆心，半径为50米的半圆引切线，切点分别为M，N，沿线段AM、圆弧MN、线段NB修路（图1）；（2）分别由A，B向以O为圆心，半径为50米的半圆引切线，两切线相交于点P，沿线段AP，PB修路（图2）。

分别计算两种修路方案的公路长，指出哪种修路方案节省？
8.在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，如图的设计方案是使AC=8，BC=6。

(1)求△ABC 中AB 边上的高h ；
(2)设DN =x ,当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大?
(3)实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树；问；这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
9.如图，菱形铁片ABCD 的对角线AC ，DB 相交于点E ，5
3sin =∠DAC ，AE ，DE 的长是方程x 2－140x ＋k =0的两根。

（1）求AD 的长；
（2）如果M ，N 是AC 上的两个动点，分别以M ，N 为圆心作圆，使⊙M 与⊙N 相外切，设AM =t ，⊙M 与⊙N 面积的和为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）某工厂要利用这种菱形铁片（单位：mm ）加工一批直径为48mm ，60mm ，90mm 的圆形零件（菱形铁片上只能加工同一直径的零件，不计加工过程中的损耗），问加工哪种零件能最充分地利用这种铁片？并说明理由。

参考答案：
1.C
提示 设DC =x ，则
3.263030405≈-=x x ， 2.C
提示 应用平行线分线段成比例性质。

3.2.35.
4.143.
5.解：过点A 作AD ⊥BC 垂足为D 。

在Rt △ADC 中，，︒=
56tan AD CD 在Rt △ABD 中，︒=
40tan AD BD 根据题意得，
10040tan 56tan =︒+︒AD AD ∴58.5340tan 56tan 40tan 56tan 100≈︒
+︒︒⋅︒⋅=AD ∴AD >50.
答：计划修筑的这条高速公路和不会穿越森林保护区。

6.（提示：以MN 所在的直线为x 轴，点M 为原点建立直角坐标系，设抛物线顶点为P ，则点M 、N 、P 的坐标依次为
M （0，0）、N （4，0）、P （2，4）
由M 、N 、P 三点坐标可得抛物线的解析式为
y =－x 2＋4x
设A 点坐标为（x ，y ），则AD =BC =2x －4,AB =CD =y
∴l =2AB ＋2AB =2(－x 2＋4x )＋2(2x －4)=－2x 2
＋12x －8
函数l 的自变量的取值范围是0<x <4,且x ≠2.
若l =8，即－2x 2＋12x －8=8
∴x 2－6x ＋8=0 ∴x =2或x =4
∵0<x <4且x ≠2, ∴l 的值不可能取８。

（1）连结OM ，ON ，AC =CO =OD =DB =50。

又∵AM 2=AC ·AD =50×50×3，∴350=AM 可证Rt △AOM ≌Rt △BON ,∴BN =AM
在Rt △AOM 中，OA OM 2
1=，∴∠A =30°，∠MON =60° ∴ππ3
5050261=⨯⨯=的长⌒MN ∴第一种方案路长))(3503100(3502350米ππ+=+
⨯ （2）连结OP ，可算得33200=AP 。

∴另一种方案路长为)(33
400米 ∵03
310050334003503100<-=-+ππ，∴第一种方案修路节省。

8.解 (1)应用相似三角形性质可求出h =4.8；
(2)应用二次函数性质可求x =2.4；
(3)此时F 是BC 的中点．
在Rt △FEB 中，EF =2.4，BF =3， ∴8.14.29222=-=-=EF BF EB
∵BM =1.85， ∴BM >EB
故现设计方案中有BM>EB ，知大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案。

∵当x =2.4时，DE =5，∴AD =AB －（DE ＋BE ）=3.2
由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是将最大面积的水池建在使AC =6，BC =8，且C 点在半圆周上的△ABC 中。

9.解 （1）∵四边形ABCD 是菱形，∴∠AED =90° ∴5
3sin ==∠AD DE DAC 设DE =3a ，则AD =5a .∴a DE AD AE 422=-=
∵AE ,DE 是方程x 2－140x ＋k =0的两根，
∴3a ＋4a =140. ∴a =20. ∴AD =5×20=100
(2)AE =4a =4×20=80, ∴AC =2AE =160
作MF ⊥AD ，NG ⊥DC ，垂足分别是F 、G ，设⊙M ，⊙N 的半径分别r M ，r N ,在Rt △AFM 中，5
3sin ===∠t r AM FM DAC M ，∴t r M 53= ∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA 。

在Rt △CGN 中，53sin ===
∠NC r NC GN DCA M ，∴NC =N r 35 ∵⊙M 与⊙N 相外切，∴MN =r M ＋r N .
∴1603553=+++N N r r t t ∴t r N 5
360-= ∴22536053⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=t t S ππ 即 πππ36007225
182+-=t t S （3）加工直径为48mm 的圆形零件，能最充分地利用这块材料。

设菱形的高线长为h mm ， 则)(9610021120160mm h =⨯
⨯=，
∴加工一个圆形零件的最大直径为96mm ，直径48mm 的圆形零件可加工4个。

若加工2个直径最大的圆形零件，那么这两个圆必定是△ADB 和△DBC 的内切圆，则它的半径为)(30120
100100801202122mm AB BD AD S ADB =++⨯⨯⨯=++△，那么加工2个圆形零件的最大直径为60mm 。

因此，在一张这种菱形铁片上，直径分别为90mm ，60mm ，48mm 的圆形零件分别可加工1个，2个，4个。

∵2
2224842902602⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅πππ， ∴加工直径为48mm 的圆形零件，能最充分地利用这块材料。